Нахождение уравнения регрессии между двумя признаками

Найти уравнение регрессии – значит по эмпирическим (факти­ческим) данным математически описать изменения взаимно корре­лируемых величин. Уравнение регрессии должно определить, каким будет среднее значение результативного признака у при том или ином значении факторного признака х, если остальные факторы, влияющие на у и не связанные с х, не учитывать, т.е. абстрагироваться от них. Дру­гими словами, уравнение регрессии можно рассматривать как ве­роятностную гипотетическую функциональную связь средней ве­личины результативного признака у со значениями факторного признака х.

Уравнение регрессии можно также назвать теоретической ли­нией регрессии. Рассчитанные по уравнению регрессии значения результативного признака называются теоретическими, обычно обозначаются (читается: «игрек, выравненный по х») и рас­сматриваются как функция от х, т.е. = f(x). (Иногда для про­стоты записи вместо пишут .)

Найти в каждом конкретном случае тип функции, с помощью которой можно наиболее адекватно отразить ту или иную зависи­мость между признаками х и у, — одна из основных задач регрес­сионного анализа. Выбор теоретической линии регрессии часто обусловлен фор­мой эмпирической линии регрессии; теоретическая линия как бы сглаживает изломы эмпирической линии регрессии. Кроме того, необходимо учитывать природу изучаемых показателей и специ­фику их взаимосвязей.

Для аналитической связи между х и у могут использоваться следующие простые виды уравнений:

– прямая линия;

– парабола;

– гипербола;

– показательная функция[4];

– логарифмическая функция и др.

Обычно зависимость, выражаемую уравнением прямой, назы­вают линейной (или прямолинейной), а все остальные — криволиней­ными.

Выбрав тип функции, по эмпирическим данным определяют параметры уравнения. При этом отыскиваемые параметры долж­ны быть такими, при которых рассчитанные по уравнению теоре­тические значения результативного признака были бы макси­мально близки к эмпирическим данным (или, что то же самое, минимально от них отличались).

Существует несколько методов нахождения параметров уравне­ния регрессии. Наиболее часто используется метод наименьших квадратов (МНК)[5]. Его суть заключается в следующем требовании: искомые теоретические значения результативного признака должны быть такими, при которых бы обеспечивалась минималь­ная сумма квадратов их отклонений от эмпирических значений[6], т.е.

.

Поставив данное условие, легко определить, при каких значе­ниях , и т.д. для каждой аналитической кривой эта сумма квадратов отклонений будет минимальной.

Этот метод уже рассматривался нами в теме 4 «Ряды динамики» при анализе трендов.

Дата добавления: 2015-11-13