Теорема Котельникова

Будь-які повідомлення можна розподілити на дискретні та безперервні. До дискретних відносяться такі, які складаються із окремих елементів, які приймають кінцеву кількість значень (телеграфні повідомлення, разові команди та інші).

Розглянемо деякі основні характеристики періодичного імпульсного сигналу. Для прикладу візьмемо послідовність однієї полярності прямокутних імпульсів (рис.3.1), які характеризуються такими параметрами:

Амплітудою U_м, тривалістю імпульса τ_і, періодом дискретизації T_д, кутовою частотою Ω = 2πF, скважністю Q = T_д/τ_і.

Рисунок 3.1

При зміні будь-якого із перелічених параметрів по визначеному закону можна одержати той чи інший вид модуляції.

До безперервних відносять такі повідомлення, які можуть приймати в деяких межах будь-які значення і є безперервними функціями в часі (сигнали радіомовлення, телефонні та інші).

Таким же чином і системи зв’язку можна розділити на два види. В одних системах інформація про початкові безперервні сигнали передається безперервно в часі, наприклад, в системах з частотним розділенням каналів. В імпульсних системах інформація про початковий безперервний сигнал передається дискретно, через визначені проміжки часу, а в пункті прийому по цим окремим дискретним значенням сигналу відновлюється початковий безперервний сигнал.

Можливість передачі безперервних сигналів за допомогою його дискретних відліків була обгрунтована В.А. Котельниковим в 1933 р.

За теоремою Котельникова, будь-який безперервний сигнал, обмежений по спектру верхньою частотою F_В, повністю визначається послідовністю миттєвих значень амплітуди, взятих через проміжок часу T_Д ≤ 1/2F_В. Таким чином, якщо потрібно передати безперервний сигнал U(t) з обмеженим спектром, то в принципі, не обов’язково передавати весь сигнал, а достатньо передати тільки окремі миттєві значення амплітуди, які відраховані через інтервали часу T_д. Із таких відліків значень амплітуди може бути повністю відновлений початковий безперервний сигнал.

Якщо розглядати частоту проходження дискретних відліків сигналу

f_д = 1/T_д, тобто частоту дискретного безперервного сигналу, то f_Д ≥ 2F_В.

Перетворення аналогового сигналу в дискретний називається дискретизацією. В результаті дискретизації буде одержаний амплітудно-імпульсний модульований сигнал (АІМ), (рис.3.2).

Рисунок 3.2

При амплітудно-імпульсній модуляції (АІМ) по закону модулюючого безперервного сигналу змінюється амплітуда імпульсів, але тривалість і частота залишаються постійними. Розрізняють АІМ-I та АІМ-II роду.

Рисунок 3.3 Рисунок 3.4

При АІМ-І роду (рис.3.3) амплітуда імпульсу змінюється в межах тривалості по закону модулюючого сигналу. При АІМ-II роду (рис.3.4) амплітуда імпульсу залишається постійною в межах його тривалості і дорівнює значенню модулюючого сигналу на початку відліку. Постійне значення амплітуди імпульсу АІМ-ІІ сигналу в межах його тривалості особливо важливо для зменшення похибок при подальшій цифровій обробці сигналу.

Розглянемо питання про вибір величини частоти дискретизації (F_д).

Рисунок 3.5 Рисунок 3.6

Якщо частота дискретизації вибрана за умовою f_Д = 2F_В, то, як видно з рис.3.5 нижня бокова смуга частот, яка визначається за умовою

f_Д – F_В = 2F_В – F_В = F_В

збігається з верхньою частотою спектра модулюючого сигналу, а для відновлення безперервного сигналу за послідовністю його дискретних відліків необхідно використовувати ідеальний фільтр нижніх частот з частотою зрізу F_ЗР = F_В.

Тому в реальних системах частоту дискретизації вибирають за умовою f_Д >2F_В (рис.3.6), як правило, f_Д = (2,3 – 2,4) F_В, і окремо, для дискретизації телефонних повідомлень, які мають діапазон частот 0,3 – 0,4 кГц, величина частоти дискретизації вибрана 8 кГц. При цьому утворюється захисний проміжок ∆f_з, який дозволяє використати прості ФНЧ на прийомі для відновлення безперервного сигналу.

Дата добавления: 2015-11-14