Задача максимизации полезности

В действительности потребителю бывает доступно не все множество Х, а лишь некое его подмножество, называемое бюджетным множеством. Задача потребителя, которая заключается в выборе наиболее предпочтительного набора при данных ценах p и уровне дохода I может быть записана следующим способом:

px I

Если рассматривать задачу потребительского выбора как задачу мат.программирования, то ее аналитическая форма будет:

U(x1,x2)→max

P1x1 + p2x2 ≤ I

x1≥0, x2≥0

Если рассматривать эту задачу как задачу на условный экстремум, то ее решение м.б. геометрическим: двигаясь по линиям безразличия на «северо-восток» до упора, выбираем линию безразличия, которая имеет с бюджетной прямой точку касания (х1, х2) – этот набор называется локальным рыночным равновесием.

Задачи на условный экстремум решаются также с помощью функции Лагранжа, которая имеет вид:

L (x1,x2,λ) = U (x1,x2) + λ (I –p1x1 – p2x2)

– λp1 = 0

– λp2 = 0

I – p1x1 – p2x2 = 0

Решение системы называется критической точкой функции Лагранжа, она может быть записана как (x1,x2,λ) – длинная точка, или (x1,x2) – короткая точка. Координата λ в микроэкономике трактуется как предельная полезность денег.

Cуществует только одна критическая точка – она и будет являться точкой глобального максимума функции.

Если функция полезности дифференцируема, то при условии регулярности мы можем охарактеризовать решение задачи потребителя с помощью условий Куна-Таккера: если х* - решение задачи потребителя при (p,I), то существует множитель Лагранжа λ 0 такой, что для любого товара:

λpi

λpi, если х* >0

Соответственно внутренне решение характеризуется равенством предельной нормы замещения мжду двумя благами и их относительными ценами:

MRS _ij = =

Решая задачу максимизации полезности на бюджетном множестве, получим, что каждой паре (p, I) соответствует множество наилучших при данных ценах и доходе потребительских наборов x (p,I). Функции x1 = D1(p1,p2, I) х2 = D2(p1,p2, I) называются функциями спроса по Маршаллу (по Вальрасу) на первый и второй продукты со стороны потребителя.

В общем виде для n товаров при данной функции полезности выполняется

X* = Dn = (P1, P2, … Pn, I), где Х- величина спроса на товар х, а D- функция спроса.

Функции спроса Di(p1,p2, M), i=1,2 однородны нулевой степени по всем переменным, т.е. для любого числа γ> 0

Из задачи потребителя, помимо характеристики спроса, мы получим зависимость полезности от экзогенных параметров, таких как цены и доход, если подставим найденный спрос в целевую функцию. Полученная функция называется косвенной функцией полезности.

Функция называется косвенной (неявной) функцией полезности параметров р1, р2, М; выражение v(p1 p2, M) есть максимум функции полезности.

Свойства косвенной функции полезности v(p₁,p₂, М):

1 Косвенная функция полезности v(p1,p2, M) является однородной функцией нулевой степени по всем переменным р1,р2, М:

эта однородность объясняется той же причиной, что и однородность функции индивидуального спроса: неизменностью бюджетного ограничения при умножении на положительное число всех его детерменант.

2 Косвенная функция полезности строго возрастает по доходу:

Если M1> M, то v(p1p2, M) > v(p1p2, M1), ибо бюджетная прямая p1x1+p2x2= M1 расположена северо-восточнее бюджетной прямой р1х1 + р2х2 = М, и следовательно, линия безразличия Iu1 расположена северо-восточнее линии безразличия Iu, откуда вытекает неравенство

3 Косвенная функция полезности не возрастает по ценам: Если q1>p1 то τ1= v(q1,p2, M) < v(p1,p2, M) = τ Бюджетное множество для бюджетной линии с более низкими ценами включает в себя множество для бюджетной линии с более высокими ценами, вследствие чего касание с границей второго множества будет никак не выше касания с границей первого.

4. Проекции линии уровня косвенной функции полезности квазивыпуклы к началу координат: в отличие от кривых безразличия, отображающих прямую функцию полезности, и в соответствии со свойством 3 отображаемые уровни полезности нарастают в направлении не от начала координат, а к нему. Это своеобразные кривые безразличия, которые строятся в пространстве товарных цен и именуются «ценовыми кривыми безразличия»

5. Если , то косвенная функция полезности непрерывная по всем переменным понятие косвенной функции полезности можно применять для изучения налогов и субсидий на уровень полезности, достигаемый индивидом в потреблении. в частности, доказывается принцип преимущества аккордного обложения, согласно которому налоги на совокупный доход снижают данный уровень полезности в меньшей степени, чем налоги на единицу потребления (потоварные налоги), приносящие такую же сумму в бюджет.

6.Предельная полезность по доходу равна производной глобального максимума по параметру I:

= = λ

Это утверждение позволяет оценить новый максимум функции полезности, который получается при относительно малом изменении дохода:

+ λ I

7. Если предпочтения локально ненасыщаемы и строго выпуклые и функция v(p,I) дифференцируема при (p,I) >> 0, то выполняется тождество Роя: м ерой изменения значения функции полезности в связи с изменением цены является произведение (-хi*λ), i =1,2

= - ͠xi*λ = -͠xi*

Это позволяет оценить новый max функции полезности, который получается при относительно малом изменении цены:

= - ͠xi*λ*∆p

---

Дата добавления: 2015-11-14