Вторая часть заданий

1. Соревнование по стрельбе из лука проводилось в два дня. Каждый участник в первый день выбил столько очков, сколько все остальные вместе во второй день. Докажите, что все участники выбили одинаковое число очков.

2. Агент по продаже недвижимости продал две квартиры. За одну он получил прибыль в размере 20%, а за другую – в размере 30%. Его общая прибыль составила 24% от стоимости квартир, по которой он их приобрёл. Найдите отношение цены, уплаченной агентом за первую квартиру, к цене, уплаченной им за вторую квартиру.

3. У трёх школьников имеется 13 грн. 20 коп. Известно, что у любых двух школьников суммы денег различны и больше 1 грн., причём у одного из них денег в целое число раз больше, чем у другого. Сколько денег у каждого школьника?

4. На клетчатой плоскости из точки А проведены три луча АВ, АС и АD (см. рис.). Докажите, что угол BAC равен углу CAD, используя свойства квадратной сетки.

5. Расположите на плоскости 6 точек так, чтобы любые три из них были вершинами равнобедренного треугольника.

6. В лесу растут деревья цилиндрической формы. Связисту нужно протянуть по лесу провод из точки А в точку В, расстояние между которыми равно l. Докажите, что для этой цели связисту достаточно иметь кусок провода длиной 1,6 l.

7. Найдите геометрическое место точек М, являющихся точками пересечения касательных к окружностям радиусов r и R, касающихся прямой l, и лежащих по одну сторону от неё (см. рис.).

8. На прямой отметили k точек. После этого отметили середины отрезков, соединяющих соседние точки. Эту процедуру повторили n раз.

1) Сколько точек должно быть отмечено вначале, чтобы после 5 процедур на прямой было отмечено более 1000 точек?

2) Сколько раз нужно повторить указанную процедуру, чтобы на прямой было отмечено более 1000 точек, если вначале отметили 3 точки?

9. Жильцы многоэтажного дома пользуются лифтом и для спуска и для подъёма. Если нет вызова и лифт свободен, то он автоматически направляется на некоторый определённый этаж. На какой этаж надо направлять лифт, чтобы среднее время ожидания лифта всеми жильцами было наименьшим?

10. На встрече собрались все участники двух туристских походов. Некоторые из них были в обоих походах, некоторые только в одном из них. В первом походе было 60% мужчин, во втором – 75%. Докажите, что на встречу пришло не меньше мужчин, чем женщин.

Дата добавления: 2015-11-16