Произведение матриц

Операция умножения двух матриц вводиться только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы А_{m x n}= (a_i,j) на матрицу B_{n x p}= (b_j,k) называется матрица C_{m x p}=(c_i,j) такая, что c_ik= a_i1 ·b_1k + a_i2 ·b_2k +…+ a_in ·b_nk (i= , k= ), т.е. элемент i-й строки и k-го столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-го столбца матрицы B.

В электронных таблицах существуют стандартные встроенные функции операций с матрицами, название которых в различных версиях этих программ может отличаться. Например для умножение матриц функция может называться МУМНОЖ(массив1; массив2), категория «Математические», а может иметь другое имя (MMULT).

Задача: Вычислить произведение двух матриц:

А = , В =

Внимание: Не забудьте, что результатом вычисления функции является массив.

Ответ:

1.4. Вычисление определителя

Квадратной матрице А порядка n можно сопоставить число det A (или ½A½, или Δ), называемое ее определителем.

Вычисление определителя осуществляется функцией МОПРЕД(массив), категория «Математические».

Задача: Найти определитель матрицы

А=

Ответ: 0

Задача: Найти определитель матрицы

А=

Ответ: 27

Задача: Найти определитель матрицы

А=

Ответ: 9

Внимание: имя функции может быть иным (MDETERM).

1.5. Обратная матрица

Матрица А^-1 называется обратной матрице А, если выполняется условие

А·А^-1= А^-1·А=Е, где

Е - единичная матрица того же порядка, что и матрица А. Матрица А^-1 имеет те же размеры, что и матрица А

Обращение матриц осуществляется функцией МОБР(массив), категория «Математические». Не забудьте, что результатом функции является массив.

Внимание: имя функции может быть иным (MINVERSE).

Задача: Найти матрицу, обратную к матрице

А =

Ответ: В =

Задача: Найти матрицу, обратную к матрице

А =

Ответ: В =

1.6. Ранг матрицы

Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается r, r(A) или rang A. Очевидно, что 0≤ rang A ≤ min(m;n), где min(m;n) – меньшее из чисел m и n.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример: Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований:

Решение:

1. В диапазон А1:Е3 вводим элементы заданной матрицы.

2. Установить дробный формат числа со знаменателем до трех цифр (Формат ячеек – Число – Дробный – Дробями до трех цифр), происходит автоматическое выравнивание числа по левому краю.

3. Копируем первую строку матрицы, которая изменяться не будет, в диапазон G1:K1.

4. В ячейку G2 вводим формулу =A2-A$1/$A$1*$A2 и скопируем ее в остальные ячейки диапазона G2:K3. Получим следующий результат:

5. Теперь значения диапазона G1:K2, который не будет изменяться, переносим в диапазон G5:K6:

а. копируем диапазон G1:K2 в буфер обмена (Правка – Копировать);

б. выделяем диапазон G5:K6, в контекстном меню выбираем команду Специальная вставка – Вставить – Значения – ОК, а затем сразу же не снимая выделения с диапазона, Специальная вставка – Вставить – Форматы – ОК.

6. В ячейку G7 вводим формулу: =H3-H$2/$H$2*$H3 и копируем ее в в остальные ячейки диапазона G7:K7, приводим матрицу к виду:

Таким образом, получаем ответ: rang A =2

Задача: Вычислить ранг матрицы методом элементарных преобразований:

А = Ответ: rang A =2

Задача: Вычислить ранг матрицы методом элементарных преобразований:

А = Ответ: rang A = 2

Задача: Вычислить ранг матрицы методом элементарных преобразований:

А= Ответ: rang A= 2

Дата добавления: 2015-11-16