Моделювання кривих

1. Апроксимація та інтерполяція.

У цій лекції розглядатимуться питання побудови кривих по контрольних точках. Нас цікавитимуть два завдання:

Інтерполяція -побудова кривої, що проходить через контрольні точки

Апроксимація -наближення кривої (не обов'язково проходить точно через задані точки, але задовольняє деякій заданій властивості щодо цих точок)

2. Інтерполяція

Загальна постановка задачі:

Рис. 1. Постановка завдання

Дано: . i Î . Побудувати функцію f(x), що задовольняє цій умові.

2.1. Інтерполяційний многочлен Лагранжа

;

;

Одержуємо безперервну функцію, що проходить через всі точки

Недоліки:

1) Вимагає значних обсягів обчислень для знаходження значення функції в довільній точці.

2) Невизначена поведінка побудованої функції між вузлами, зокрема можна привести наступні результати:

1916 Бернштейн:

1925 Рунге:

Далі розглядатимемо інтерполяційні функції, які задаються окремо на кожному відрізку , що дозволяє краще враховувати локальну поведінку необхідної функції і уникнути громіздких обчислень (оскільки на кожному з відрізків інтерполююча функція має по можливості простий вигляд).

2.2. Кусково-лінійна інтерполяція

Рис. 2. Кусково-лінійна інтерполяція

Интерполяция следующей кусочно-линейной функцией: Клас

2.3. Кубічна інтерполяція Ерміта (форма Ерміта)

Рис. 3. Кубічна інтерполяція Ерміта.	Задано наступні умови: ,
Для кожного i шукатимемо функцію у вигляді . Підставивши цю функцію в рівняння умов одержимо лінійну невироджену систему з 4 рівнянь з 4 невідомими (а, b, c та d), тобто рішення існує і єдино. Клас

Эта система решается относительно нахождением обратной матрицы размером .

.

Здесь - эрмитова матрица, - геометрический вектор Эрмита. Подставим выражение для нахождения : . Аналогично для остальных координат: ,

Проблеми:

1) Необхідно знати вектори похідних (напрям + значення)

2) Бажано мати , а не тільки

Дата добавления: 2015-07-11