Парабола. Параболой называется множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки

Параболой называется множество точек плоскости, равноудалённых от данной точки, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой параболы.

Величина p, равная расстоянию от фокуса до директрисы, называется параметром параболы. Прямая, проходящая через фокус параболы перпендикулярно её директрисе, называется осью, а точка пересечения параболы с её осью – вершиной параболы. Простейшее уравнение параболы получается, если координатная система расположена следующим образом: за одну из координатных осей берётся ось параболы, а за другую – прямая, перпендикулярная оси параболы и проведённая посредине между фокусом и директрисой. Тогда уравнение параболы примет вид:

(10) (11)

(12) (13)

Уравнение у = ах ² + bх + с (а ≠ 0) (14)

определяет параболу, ось которой перпендикулярна оси абсцисс. Аналогично, уравнение

х = my ² + ny + p (m ≠0) (15)

определяет параболу, ось которой перпендикулярна оси ординат. Уравнения (14) и (15) приводятся к простейшему виду (10) – (13) путём тождественных преобразований с последующим переносом координатной системы.

Пример 3. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат и фокусом в точке F (0; – 8).

Решение: Фокус параболы лежит на оси ординат, а вершина – в начале координат, поэтому уравнение параболы можно записать либо в виде х ² = 2 ру, либо в виде х ² = – 2 ру. Далее, поскольку ордината фокуса отрицательна, уравнение параболы следует искать в виде х ² = – 2 ру. Из координаты фокуса параболы имеем р / 2 = 8, откуда p=16 и 2 р = 32, и окончательно получаем х² = – 32у.

Дата добавления: 2015-07-10