Представление чисел

Здесь ключевым вопросом является выбор основания числа. Практически все ранние компьютеры характеризовались основанием 10 - представление на основе десятичных цифр, как каждого из нас учат в школе.

Однако двоичное представление с использованием двоичных цифр является, очевидно, более экономичным. Для представления целого числа n требуется log10(n) десятичных цифр, но всего лишь log2(n) двоичных цифр (бит). Поскольку для представления десятичной цифры требуется четыре бита, для десятичного представления требуется примерно на 20% больше памяти, чем для двоичного, что показывает очевидное преимущество двоичной формы. Тем не менее, разработчики долгое время сохраняли десятичное представление, и оно присутствует и сегодня в форме библиотечного модуля. Это связано с тем, что разработчики продолжали верить в необходимость точности всех вычислений.

Однако ошибки возникают при округлении, например, после выполнения операции деления. Эффекты округления могут различаться в зависимости от способа представления чисел, и двоичный компьютер может выдать результаты, отличающиеся от результатов десятичного компьютера. Поскольку финансовые транзакции - где более всего существенна точность - традиционно выполнялись вручную с использованием десятичной арифметики, разработчики полагали, что компьютеры должны производить во всех случаях те же результаты - и, следовательно, фиксировать те же ошибки.

Двоичная форма в общем случае приводит к более точные результатам, но десятичная форма остается предпочтительным вариантом в финансовых приложениях, поскольку десятичный результат в случае потребности легко проверить вручную.

Эта понятная идея, очевидно, являлась консервативной. Заметим, что до пришествия в 1964 г. IBM System/360, в которой поддерживалась как двоичная, так и десятичная арифметика, производители крупных компьютеров предлагали две линейки продуктов: двоичные компьютеры для научных потребителей и десятичные компьютеры для коммерческих потребителей - дорогостоящий подход.

В ранних компьютерах целые числа представлялись своим модулем и отдельным знаковым битом. В машинах, основанных на последовательном сложении, бит за битом, по порядку чтения, система размещала знак в младшем разряде. Когда стала возможной параллельная обработка, знак переместился в старший разряд, снова аналогично общепринятой бумажной нотации. Однако использование представления "знак-модуль" было плохой идеей, поскольку для положительных и отрицательных чисел требовались разные схемы.

Очевидно, что намного лучшее решение обеспечило представление отрицательных чисел в виде дополнения, поскольку одна и та же схема могла выполнять и сложение, и вычитание. Некоторые разработчики выбирали дополнение до единицы, когда -n получалось из n путем простого инвертирования всех бит. Некоторые выбирали дополнение до двойки, когда -n получалось путем инвертирования всех бит и прибавлением единицы. Недостатком первого способа было наличие двух форм нуля (0...0 и 1...1). Это неприятно, особенно, если доступные инструкции сравнения являются неадекватными.

Например, в компьютерах CDC 6000 имелась инструкция для проверки значения на ноль, корректно распознающая обе формы, но также присутствовала и инструкция, проверяющая только знаковый бит и относящая 1...1 к отрицательным числам, что неоправданно усложняло сравнения. Это пример неадекватной разработки раскрывает ущербность идеи дополнения до единицы. Сегодня во всех компьютерах используется арифметика с дополнением до двойки. Эти разные формы показаны в таблице 1.

Таблица 1. Использование арифметики с дополнением до двойки во избежание двусмысленных результатов

Десятичное представление	Представление с дополнением до двойки	Представление с дополнением до единицы
		000 или 111
-1
-2

Числа с дробной частью можно представлять в формах с фиксированной и плавающей точкой. Сегодня в аппаратуре обычно поддерживается арифметика с плавающей точкой, т.е. число x представляется двумя целыми числами - порядком e и мантиссой m, так что x=Bem.

Некоторое время разработчики спорили о том, какое следует выбрать основание B для представления порядка. Вместо традиционного B=2 в Burroughs B5000 использовалось B=8, а в IBM 360 - B=16. Намерение состояло в том, чтобы сэкономить место за счет меньшего диапазона значений порядка и ускорить нормализацию, поскольку сдвиги происходили только на более крупных шагах в позициях 3-го или 4-го битов.

Однако это оказалось плохой идеей, поскольку усугубляло эффекты округления. В результате для IBM 360 можно было найти такие значения x и y, что для некоторого малого положительного ε выполнялось соотношение (x+ε)*(y+ε)<(x * y). Умножение утрачивало свойство монотонности. Такое умножение является ненадежным и потенциально опасным.

Дата добавления: 2015-07-10