Типовой расчет

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО

ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

КАФЕДРА УПРАВЛЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ

ТИПОВОЙ РАСЧЕТ

По дисциплине «Теория автоматического управления»

«АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ»

Выполнил: студент 4 курса

Группы А-01-09

Яшина Е.Б.

Вариант 60

Проверил: Коломейцева М.Б.

Москва 2012

Задание:

По заданной структурной схеме линейной импульсной системы автоматического управления:

1. Преобразовать исходную структурную схему к типовому виду; определить передаточную функцию приведенной непрерывной части разомкнутой импульсной системы ;

2. По найти дискретную передаточную функцию разомкнутой импульсной системы ;

3. Построить годограф разомкнутой импульсной САУ:

а) По выражению ;

б) По выражению годографа ;

Период работы импульсного элемента Т_и=0,01с;

4. Оценить устойчивость замкнутой импульсной САУ и найти предельный коэффициент усиления:

а) По критерию Найквиста;

б) По критерию Гурвица;

в) По корням характеристического уравнения;

5. Построить переходной процесс по замкнутой импульсной САУ (относительно выходного сигнала Х_р(t));

6. Определить статическую и кинетическую ошибки замкнутой импульсной САУ (относительно сигнала y(t));

7. Провести сравнение расчетных результатов с данными, полученные моделированием в Matlab (Simulink).

Исходные данные

Схема САУ:

рис.1. Структурная схема импульсной САУ

Тип ИЭ:

рис.2. Структурная схема замещения импульсного элемента

Время запаздывания: τ≈0

Период квантования: Т_и=0,01с

Передаточные функции звеньев, входящих в состав САУ:

1. Преобразуем исходную структурную схему к типовому виду; определим передаточную функцию приведенной непрерывной части разомкнутой импульсной системы

Преобразуем структурную схему к общему виду:

рис.1.1 Типовая структурная схема импульсной САУ

Запишем выражение для непрерывной передаточной функции разомкнутой системы:

Таким образом, коэффициент усиления разомкнутой системы равен:

Найдем передаточную функцию дискретной системы:

Т.к. , то

2. По найдем дискретную передаточную функцию разомкнутой импульсной системы

Определим весовую функцию для приведенной непрерывной части САУ w_пн(t). Для этого W_p(p) представим в виде суммы слагаемых:

Для нахождения передаточной функции разомкнутой дискретной системы применим дискретное преобразование Лапласа. Суммирование начинается не с нулевой дискреты (l=0), а с первой (l=1), т.к. в импульсной системе существует небольшое запаздывание (τ≈0).

3. Построить годографы разомкнутой импульсной САУ по выражению и по выражению годографа

Годограф импульсной системы построим двумя способами:

а) точным (непосредственно по найденной ранее передаточной функции)

б) приближенным, т.е. по следующей формуле:

или в приближении:

а) Представим передаточную функцию в следующем виде:

Значения для действительной и мнимой часть, полученные для различных ω∙Т_и, представлены в таблице 1, а АФХ импульсной САУ на рис.3.1.

Таблица 1

ω
17,45329	-36.192-29.54j
34,90659	-10.99-14.299j
52,35988	-6.32-9.37j
69,81317	-4.69-6.88j
87,26646	-3.93-5.37j
104,71976	-3.52-4.33j
122,17305	-3.28-3.57j
139,62634	-3.11-2.98j
157,07963	-3.1-2.5j
174,53293	-2.94-2.1j
191,98622	-2.88-1.75j
209,43951	-2.84-1.44j
226,8928	-2.81-1.17j
244,3461	-2.79-0.91j
261,79939	-2.77-0.67j
279,25268	-2.76-0.44j
296,70597	-2.758-0.22j
314,15927	-2.756

рис.3.1. Годограф импульсной САУ, построенный точным методом

б) Построим годограф по согласно выражению:

Таблица 2.

ω
17,45329	-36.192-29.55j
34,90659	-10.99-14.32j
52,35988	-6.31-9.4j
69,81317	-4.67-6.93j
87,26646	-3.92-5.43j
104,71976	-3.51-4.4j
122,17305	-3.26-3.66j
139,62634	-3.11-3,08j
157,07963	-2,99-2.61j
174,53293	-2.92-2.22j
191,98622	-2.87-1.88j
209,43951	-2.82-1.59j
226,8928	-2.79-1.32j
244,3461	-2.77-1.09j
261,79939	-2.76-0.85j
279,25268	-2.75-0.64j
296,70597	-2.74-0.43j
314,15927	-2.74-0.227j

рис.3.2. Годограф импульсной САУ, построенный приближенным методом

Из рис.3.2. видно, что годографы импульсной САУ, построенные точным и приближенным методом совпали.

4. Оценить устойчивость замкнутой импульсной САУ и найти предельный коэффициент усиления

а) По критерию Найквиста

Так как АФХ охватывает точку с координатами (-1,j0), а разомкнутая импульсная САУ – нейтральноустойчивая, то рассматриваемая САУ в замкнутом состоянии является неустойчивой.

Предельный коэффициент усиления можно определить согласно следующему соотношению:

где k_p – коэффициент усиления разомкнутой САУ, A_n – модуль комплексного коэффициента усиления при его аргументе равном 180°.

б) По критерию Гурвица

Запишем передаточную функцию дискретной САУ в замкнутом состоянии через Z-преобразрование (относительно сигнала y):

Введем подстановку .Тогда характеристическое уравнение A(z)=0 принимает вид:

Так как характеристическое уравнение системы 2-го порядка не имеет все коэффициенты положительные, то рассматриваемая система является неустойчивой в замкнутом состоянии.

Определим k_пр. Для этого передаточную функцию разомкнутой ИСАУ при k=k_пр представим следующим образом:

Тогда соответсвующая передаточная функция САУ в замкнутом состоянии примет вид:

Подставим в характеристическое уравнение соответствующее передаточной функции , . Тогда, после преобразований получим:

Так как для САУ 2-го порядка устойчивости сводится к положительности коэффициентов характеристического уравнения, то .

в) По корням характеристического уравнения

Найдем корни характеристического уравенения замкнутой системы:

Среди корней, равных (0.821, -4.848), присутсвует корень выходящий из окружности единичног радиуса, следовательно замкнутая система неуйстйчива.

Найдем значение k_пр .Для этого передаточную функцию разомкнутой ИСАУ при k=k_пр представим следующим образом:

Тогда соответсвующая передаточная функция САУ в замкнутом состоянии примет вид:

Для нахождения k_пр будем использовать характеристическое уравнение замкнутой системы и условие |z|=1. Тогда получим, что .

5. Построить переходной процесс по замкнутой импульсной САУ (относительно выходного сигнала Х_р(t)

Построим переходной процесс на выходе замкнутой ИСАУ Х_р­(t) при

k=70. Для этого найдем передаточную функцию прямой цепи заданной системы, т.е.

Запишем эту передаточную функцию относительно аргумента z и разделим числитель и знаменатель на z³. Тогда:

Переходной процесс можно построить по следующему разностному уравнению, полученному из выражения для :

рис.5.1.Переходной процесс на выходе замкнутой ИСАУ относительно выходного сигнала

6. Определим статическую и кинетическую ошибки замкнутой импульсной САУ (относительно сигнала y(t))

Передаточная функция относительно ошибки равна:

Тогда статическая ошибка при x(t)=1₀(t):

Кинетическая ошибка имеет место тогда, когда на входной является функция, изменяющаяся по линейному закону, т.е. x(t)=v∙t или x(mT)=V∙mT

Дискретное преобразование Лапласа такого сигнала:

Тогда кинетическая ошибка будет равна:

7. Проведем сравнение расчетных результатов с данными, полученные моделированием в Matlab (Simulink)

Дата добавления: 2015-10-13