МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
К ПРАКТИЧЕСКОМУ ЗАНЯТИЮ №3
Тема: «Описательная статистика. Средние величины»
Красноярск
О назначении описательной статистики можно судить по ее названию: она имеет дело с числами, характеризующими ту или иную интересующую нас ситуацию. Вот примеры статистической информации: число несчастных случаев за год; средняя продолжительность жизни; уровень заболеваемости гриппом. Ценность описательной статистики заключается прежде всего в том, что она дает сжатую и концентрированную характеристику изучаемого явления.
Статистика имеет различные функции: информационную, прогностическую и аналитическую.
Информационная функция статистики состоит из сбора, обобщения и представления достоверной, своевременной информации об исследуемом явлении. Часто исследованию подлежат тысячи объектов, в этом случае сплошное изучение становится невозможным и необходимо провести выборочное исследование. Поэтому важное значение приобретают технологии сбора, обработки и анализа данных.
Прогностическая функция статистики состоит в оценивании вероятностей тех или иных случайных событий, которые происходят в изучаемом процессе, показателей тех или иных случайных величин, связанных с этим процессом. Эта функция служит основой для принятия управленческих решений. С помощью этой функции можно получить сигнал о возможности появления кризисных явлений в изучаемом процессе, если не внести каких-то изменений в управление им.
Аналитическая функция статистики состоит, во-первых, в количественном исследовании тенденций развития процесса; во-вторых, в изучении этого процесса в динамике; в-третьих, в измерении связей между разными факторами, влияющими на процесс, и его результатами.
То есть, владея методами статистики, мы можем с одной стороны проанализировать имеющиеся данные, с другой – предвидеть дальнейшее развитие ситуации, учесть влияние возможных факторов и выбрать оптимальное решение, влияющее на развитие ситуации.
Объектом наблюдения описательной статистики является статистическая совокупность, состоящая из отдельных предметов или явлений - единиц наблюдения, взятых в определённых границах времени и пространства. Они объединены общей связью, но различаются по ряду варьирующихся признаков.
Единица наблюдения - первичный элемент статистической совокупности, являющийся носителем признаков, подлежащих изучению.
Статистическая совокупность, подлежащая исследованию, называется генеральной совокупностью. Теоретически генеральная совокупность может быть безгранична.
Выборочная совокупность (выборка) – подмножество (часть) генеральной совокупности, получаемое посредством случайного отбора. Смысл выборочного метода состоит в том, что извлечение из некоторой весьма пространной (или вообще беспредельной) генеральной совокупности несравненно меньших по объему выборок резко экономит время обработки данных. Процесс случайного отбора данных называется процессом рандомизации (random – «случайный»).
Важность принципа рандомизации (случайного отбора) можно проиллюстрировать следующим образом. Представим, что необходимо собрать образцы определенного вида растений с какой-то гигантской площадки (поля) с целью описать некие их свойства. Например, подсчитать среднее число зерен в колосе какого-то злака. Совокупность экземпляров данного вида, произрастающая на данном поле, и будет составлять генеральную совокупность. Понятно, что, если поле действительно очень большое, то в разных его частях система природных факторов, влияющих на рост и развитие растений, будет складываться несколько иначе: будет сказываться разница в структуре почвы, рельефе, глубине подпочвенных вод, осадках, удаленность от дороги или лесной опушки и т.д. В результате, как это действительно и происходит на практике, в разных местах поля колосья заведомо будут различны, поэтому если вы будете собирать образцы лишь с одного чем-то лично вам понравившегося участка (например, «далеко ходить не надо» или другие личные мотивы), то практически гарантированно вы получите искаженные сведения о генеральной совокупности. Действительно, ведь вам будут, как правило, попадаться объекты, у которых интересующее вас свойство будет содержаться либо «в избытке»,либо «в недостатке». Иными словами, вы внесете в данные некую нарочитую тенденцию, вольно или невольно вызовите их смещение в сторону относительно высоких ли низких значений по отношению к их действительному состоянию в генеральной совокупности. Понятно, что такой подход, независимо от того, какие объекты вас действительно интересуют (растения, животные, люди), может привести к неверным заключениям и прогнозам со всеми вытекающими последствиями. При этом совершенно неважно, внесены ли такие ошибки сознательно или непроизвольно, из самых лучших побуждений («чтобы было как лучше») или, наоборот, из желания «навредить». Рандомизация же (возвращаясь к примеру с растениями на поле) действует как механизм, позволяющий вам независимо от вашего желания-нежелания более или менее равновероятно «выдергивать» образцы из самых разных участков генеральной совокупности. Это обеспечивает нивелирование действия специфических локальных факторов на изучаемые объекты («избытки» в одном месте компенсируются «недостатками» в другом), благодаря чему свойства рандомизированной выборки приближаются к реальным свойствам генеральной совокупности.
Репрезентативность выборочной совокупности - свойство выборки корректно отражать генеральную совокупность.
Одна и та же выборка может быть репрезентативной и нерепрезентативной для разных генеральных совокупностей. Например, выборка, целиком состоящая из пациентов, больных сахарным диабетом, не репрезентирует всех пациентов больницы, но может отлично отображать пациентов-диабетиков.
Выделяют репрезентативность количественную и качественную (структурную). Количественная репрезентативность определяется числом наблюдений, гарантирующим получение статистически достоверных данных. В общем, здесь действует основной постулат закона больших чисел — «чем больше наблюдений — тем результаты достоверней» или «чем больше число наблюдений, тем больше значения характеристик выборки приближаются к соответствующим характеристикам генеральной совокупности».
Качественная репрезентативность — обозначает структурное соответствие выборочной и генеральной совокупностей. Например: если в составе генеральной совокупности 50% — лица мужского пола, то и в выборочной группе их должно быть 50%.
В силу закона больших чисел выборка будет качественно репрезентативной только в том случае, если ее осуществить случайно. Проводить отбор случайно – значит обеспечить выполнение условия, что каждый объект выборки отбирается случайно из генеральной совокупности.
Для каждого объекта (единицы наблюдения) регистрируют один и тот же признак или признаки. Например, регистрируется рост и масса людей; численность населения, уровень рождаемости и смертности для городов; объем памяти и т.д. Признак, который регистрируется для каждого из объектов, называют переменной.
Наборы данных классифицируют по следующим признакам:
· по количеству переменных (одномерные, двумерные или многомерные наборы данных);
· по типу данных (количественные или качественные);
· по тому, важна ли упорядоченность данных во времени или нет.
Одномерные наборы данных содержат только один признак для каждого объекта. Эти данные позволяют определить типичное значение признака – то, насколько значения отличаются друг от друга, требуют ли отдельные данные особого внимания. Примером одномерных данных является информация о средней рождаемости в стране по регионам. Она позволяет назвать регионы с самым высоким и с самым низким уровнем рождаемости.
Двумерные наборы данных содержат информацию о двух признаках для каждого из объектов. Кроме того, что они дают возможность получить два набора одномерных данных. Двумерные данные также позволяют установить, существует ли связь между двумя переменными, насколько сильно связаны переменные, можно ли предсказать значение одной переменной по значению другой и если да, то с какой надежностью. Например, данные опроса студентов о том, удовлетворены ли они уровнем теоретической и практической подготовки, получаемой в вузе (значения обеих переменных записываются в виде да/нет или 1/0), позволяют установить, есть ли связь между уровнями теоретической и практической подготовки.
Многомерные данные содержат информацию о трех или более признаках для каждого объекта. В дополнение к той информации, которую можно извлечь из одномерных и двумерных наборов, многомерные данные можно использовать для получения информации о том, существует ли простая зависимость между этими признаками, насколько они взаимосвязаны (речь идет не только о попарной взаимосвязи признаков, но и о зависимости в совокупности), можно ли предсказать значение одной переменной на основании значений остальных.
Признаки, или переменные, могут принимать различные конкретные значения. Различают следующие виды признаков:
Качественные или номинальные – признаки, не поддающиеся непосредственному измерению (номинальная шкала). Состоит из взаимоисключающих категорий. Например, характеристики пациента: диагноз, пол, профессия, семейное положение. Пример: семейный статус - холост, женат, разведен, вдовец; вид заболевания - астма, бронхит, пневмония.
Качественные данные, которые могут быть отнесены только к двум противоположным категориям «да» – «нет», принимающие одно из двух значений (выжил – умер; курит – не курит), называются дихотомическими (бинарными). Даже если значениям качества можно приписать числа (например, полу человека приписать соответственно числа 0 и 1), то обрабатывать эти числа как количественные данные нельзя.
Порядковые или ранжируемые – признаки, которые можно расположить в естественном порядке (ранжировать), но при этом отсутствует количественная мера расстояния между величинами. Примером являются оценка тяжести состояния пациента, стадия болезни, самооценка состояния здоровья. При этом допускается, что тяжелое течение заболевания «хуже», чем среднетяжелое, а очень тяжелое – «еще хуже», однако нельзя сказать во сколько или на сколько хуже. Можно сказать, что порядковые данные занимают промежуточное положение между количественными и качественными типами. Их можно упорядочить как количественные данные, но над ними нельзя производить арифметические действия, как и над качественными данными.
Количественные или интервальные – признаки, количественная мера которых четко определена. Это наиболее удобный для статистического анализа тип данных.
Количественные признаки могут быть:
- непрерывными – принимающими любое значение на непрерывной шкале; например: масса тела, температура, биохимические показатели крови;
- дискретными – принимающими значения лишь из некоторого списка определенных чисел, обычно целых; например: число рецидивов, число детей в семье, число заболеваний у одного больного, число выкуриваемых сигарет, число вызовов "скорой помощи", поступающих в больницу.
По роли в статистической совокупности учетные признаки можно подразделить на факторные (факториальные) и результативные (результирующие) признаки.
Результативный признак — зависимый, изменяющий свое значение под влиянием другого, связанного с ним и действующего на него факторного признака. Например: количество выкуренных сигарет – факторный признак, вероятность возникновения заболевания легких и сердца – результативный признак. Ролевая значимость этих признаков иногда может меняться. Например: концентрация инсулина в крови и концентрация сахара крови. Высокий уровень сахара крови вызывает усиленный выброс инсулина в кровь. В то же время повышение концентрации инсулина ведет к снижению сахара крови. Так же как реализация скрининг исследований инфекционных заболеваний влияет на своевременность выявления, снижение риска инфицирования и числа зараженных (это впоследствии уменьшает эффективность скрининга и целесообразность его проведения).
Все единицы наблюдения, относящиеся к одной статистической совокупности, имеют некоторое число общих учетных признаков, свидетельствующих о принадлежности конкретной единицы наблюдения к этой совокупности. Такие признаки называются признаками сходства (место работы, время работы на предприятии, место жительства и т. п.). Эти признаки описывают обязательное условие статистического наблюдения: единство места и времени исследования.
Признаки различия представляют индивидуальные особенности (характеристики) каждой единицы наблюдения. В медицинских исследованиях это могут быть пол, возраст, производственный или профессиональный стаж, заболеваемость и т. п. Строго говоря, признаки различия и являются конечным объектом статистического исследования.
Если порядок записи значений данных во времени имеет содержательный смысл, то говорят, что эти данные представляют собой временной ряд. Эти данные представляют информацию об объекте в различные моменты времени. Если порядок записи данных во времени несущественен, то говорят об одном временном срезе. Эти данные представляют информацию об объектах в определенный момент времени. Примерами временного ряда являются данные о заболеваемости раком в регионе за несколько десятков лет; об уровне заболеваемости гриппом за квартал и т. п. Примерами одного временного среза являются данные о смертности в районе в определенный год; число пациентов, обратившихся в поликлинику, на определенный день.
Многие статистические данные получают в процессе измерений. Целью измерений является получение информации о признаках объектов, организмов, событий. Измеряется не сам объект, а только свойства или отличительные признаки объекта. Например, измеряется не ребенок, а его рост и масса. Измерения осуществляются путем установления соответствия между числами и объектами, которые являются носителями подлежащих измерению свойств. Измерения могут проводиться на разных уровнях. Различным уровням измерений соответствуют различные шкалы:
1) номинальная шкала;
2) порядковая, или ранговая, шкала;
3) шкала интервалов;
4) шкала отношений, или шкала пропорций;
5) логарифмическая шкала.
Номинальная шкала используется для регистрации самого низшего уровня измерений, предполагающего наличие минимальных предпосылок для измерения. При измерениях на данном уровне практически не используются числа. Здесь важно установить подобие или различие объектов по некоторому признаку. Например, распределение жителей по половому признаку. С помощью подсчета можно установить число мужчин и женщин в каждом регионе.
Порядковая, или ранговая, шкала указывает лишь последовательность носителей признака или направление степени выраженности признака.
Например, учащихся можно ранжировать по количеству правильно выполненных тестовых заданий. Пусть учащиеся А, Б, В, Г, Д правильно выполнили соответственно 21, 16, 12, 9 и 3 задания. Графически это можно изобразить так
Эта порядковая шкала имеет величины от 1 до 5, и учащиеся на ней размещены в зависимости от количества правильно выполненных заданий: А – первый, Д – пятый. Из рисунка видно, что интервалы, разделяющие места в ряду, различны по величине. По этой причине нецелесообразно складывать, вычитать, умножать и делить порядковые места.
Шкала оценок по одному предмету является порядковой шкалой, так как интервалы между отдельными баллами не отражают разрыва между реальными результатами. Мы знаем только, что ученик, получивший оценку "5" по какому-то предмету, знает этот предмет лучше того, кто получил "4". Но нельзя утверждать, что различие в знаниях этих учащихся такое же, как и в знаниях тех, кто получил "4" и "3". Так как шкала оценок является порядковой шкалой, то некорректно выставлять итоговую оценку как среднюю арифметическую текущих оценок.
На шкале интервалов равные интервалы отображают одинаковую меру величины измеряемого признака. Например, 1 см между 3-м и 4-м сантиметрами на шкале измерений длин имеет такой же смысл, как и 1 см между 82-м и 83-м сантиметрами. Другими словами, на шкале интервалов расстояния между соседними делениями равны. На интервальной шкале вполне осмысленным является вопрос "на сколько?". Но не всегда, пользуясь интервальной шкалой, можно формулировать вопрос "во сколько раз?". Дело в том, что на шкале интервалов устанавливаются произвольно начало отсчета (нуль шкалы), единица измерения и направление отсчета. Примером интервальной шкалы является температурная шкала по Цельсию. Разность между температурами воздуха +30 и +20°С столь же велика, как и между -10 и -20°С. Однако, нельзя утверждать, что при температуре воздуха +30°С в полтора раза теплее, чем при температуре +20°С. Даже если температура воздуха равна 0°С, нельзя утверждать, что тепла нет совсем: ведь начало отсчета выбрано произвольно.
Также шкалой интервалов является шкала коэффициента интеллекта IQ.
Шкала интервалов является метрической, с ее помощью можно выполнять сложение и вычитание. Она имеет значительные преимущества по сравнению с номинальной и порядковой шкалами.
Шкала отношений, или шкала пропорций, дает возможность устанавливать отношения значений измеряемого признака благодаря тому, что значению шкалы "0" соответствует величина, для которой измеряемый признак отсутствует. Другими словами, начало отсчета на этих шкалах выбирают непроизвольно. Примерами шкалы отношений являются меры длины (м, см и т. д.) и массы (кг, г и т. д.). Предмет длиной 100 см вдвое длиннее предмета длиной 50 см.
Важно упомянуть о логарифмической шкале. Иногда данные нуждаются в преобразованиях. В частности, потребность в этом возникает, когда в ряду данных одно или несколько значений существенно превышают остальные. Если данные явно несимметричны, то каждое значение приведенного набора данных заменяют логарифмом этого значения с целью упростить статистический анализ. Логарифмирование преобразует "скошенные" (асимметричные) данные в более симметричные, так как происходит "растягивание" шкалы возле нуля. При этом малые значения, сгруппированные вместе, распределяются вдоль шкалы. В то же время логарифмирование собирает вместе большие значения на правом конце шкалы. Наиболее часто применяют десятичные и натуральные логарифмы. Равным расстояниям на логарифмической шкале соответствует равные процентные увеличения на исходной шкале, а не равные увеличения значений.
Пример. В таблице представлена численность населения (в тыс. чел.) в республиках бывшего СССР в 1976 г.
| Россия | Украина | Белоруссия | Узбекистан | Казахстан |
| Грузия | Азербайджан | Литва | Молдавия | Латвия |
| Киргизия | Таджикистан | Армения | Туркмения | Эстония |
Заменим все значения их десятичными логарифмами. В нижеприведенной таблице вместо численности населения представлены их десятичные логарифмы.
| Россия | Украина | Белоруссия | Узбекистан | Казахстан |
| 8,13 | 7,69 | 6,97 | 7,15 | 7,16 |
| Грузия | Азербайджан | Литва | Молдавия | Латвия |
| 6,69 | 6,76 | 6,52 | 6,59 | 6,40 |
| Киргизия | Таджикистан | Армения | Туркмения | Эстония |
| 6,53 | 6,54 | 6,45 | 6,41 | 6,16 |
Эти данные симметрично группируются вокруг среднего значения 6,81.
Вариационный ряд - ряд числовых измерений какого-либо признака, отличающихся друг от друга по своей величине и расположенных в определенном порядке (возрастания или убывания).
Каждое числовое значение в вариационном ряду называют вариантой(
). При большой численности наблюдений некоторые варианты повторяются. В связи с этим в вариационном ряду принято выделять частоты(р). Частота данной варианты – это количество элементов совокупности, имеющих одинаковое числовое значение. Отношение частоты варианты к объему совокупности (или общему числу наблюдений n) назвали относительной частотой варианты и обозначили через 
, 
при этом выполняется условие v 1 + v 2 +... + vk = 1.
Виды вариационных рядов:
1. В зависимости от вида случайной величины:
- дискретный;
- непрерывный.
2. В зависимости от группировки вариант:
- несгруппированный;
- сгруппированный (интервальный):
3. В зависимости от частоты, с которой каждая варианта встречается в вариационном ряду:
- простой (р =1);
- взвешенный (р >1).
Вариационный ряд можно разбивать на отдельные (по возможности равные) части, которые называются квантилями. Наиболее часто употребляемые квантили представлены в таблице.
Средняя величина - это обобщающий показатель статистической совокупности, который погашает индивидуальные различия значений статистических величин, позволяя сравнивать разные совокупности между собой.
В зависимости от характера задачи пользуются тем или иным видом средней величины. К ним принадлежат среднее арифметическое, мода, медиана, степенные средние (среднее гармоническое, среднее геометрическое и т. п.).
Пусть имеется n объектов, для которых измерена некоторая характеристика, и получены значения 
, 
,..., 
. Среднее арифметическое этих n значений обозначают через М и определяют как
,
это также может быть записано следующим образом
Медиана, или средняя точка, может быть вычислена как для порядковых, так и для количественных данных. Если все элементы совокупности размещены в порядке возрастания или убывания числовых значений признака, то медиана - это такое значение признака, которое делит всю совокупность пополам.
Итак, количество элементов совокупности, имеющих значение признака, меньшее медианы, равно количеству элементов со значением признака, большим медианы. Будем обозначать медиану символом Ме.
При нахождении медианы дискретного вариационного ряда следует различать два случая:
1) объем совокупности нечетный;
2) объем совокупности четный.
Если объем совокупности нечетный и равен (2 n +1), и варианты размещены в порядке возрастания их значений:
то 
.
Если же количество элементов четное и равно 2 n, то нет варианты, которая бы делила совокупность на две равные по объему части:
поэтому в качестве медианы условно берется полусумма вариант, находящихся в середине вариационного ряда:
Медиана обладает важными свойствами, которые в некоторых случаях дают ей преимущество перед другими средними величинами. Например, если при упорядоченном размещении некоторого признака "крайние" значения сомнительные и к тому же резко отличаются от основной массы данных, то в качестве меры центральной тенденции целесообразно использовать медиану. Это связано с тем, что на ее величину эти "крайние" значения никакого влияния не оказывают, а в то же время они могут существенным образом повлиять на значение среднего арифметического.
Среднее арифметическое является хорошей мерой центральной тенденции для количественных данных, не имеющих выбросов; медиана - для порядковых данных и для количественных данных, в том числе и при наличии выбросов. Подобная характеристика нужна и для номинальных данных. Такой характеристикой является мода. Она применяется как для неупорядоченных категорий, так и для упорядоченных, и для количественных данных.
Мода - это такое значение признака, которое встречается наиболее часто. В случае дискретных рядов вычислить моду нетрудно. Достаточно найти варианту, которая имеет наибольшую частоту или относительную частоту, это и будет мода. Будем обозначать моду символом Мо.
Если все значения в вариационном ряде встречаются одинаково часто, то считают, что этот ряд не имеет моды.
Если два соседних значения вариационного ряда имеют одинаковую частоту, и она больше частоты любого другого значения, то считают, что мода равняется среднему арифметическому этих значений.
Если два не соседних значения вариационного ряда имеют одинаковую частоту, и она больше частоты любого другого значения, то считают, что вариационный ряд имеет две моды, а соответствующее распределение называют бимодальным.
Пример использования моды в медицинских исследованиях: требуется определить среднюю длительность госпитализации рабочих промышленных предприятий в связи с производственным травматизмом.
| Число дней госпитализации | Итого | ||||||||
| Число рабочих |
При визуальном анализе графического изображения распределения видно, чторяд распределения несимметричен: вершина распределения сдвинута в начало ряда. Если определять среднюю величину на основе среднего арифметического (М), то средняя длительность одной госпитализации составит 4,2 дня. Однако, чаще всего (Мо) длительность госпитализации составляла 3 дня.
Для правильного выбора пути статистического анализа необходимо знать вид распределения изучаемого признака.
Под видом распределения случайной величины понимают соответствие, устанавливаемое между всеми возможными числовыми значениями случайной величины и вероятностями их появления в совокупности. Вид (закон) распределения может быть представлен:
- аналитической зависимостью в виде формулы;
- в виде графического изображения
- в виде таблицы
Виды распределений
Нормальное (гауссово, симметричное, колоколообразное ) используется для приближенного описания явлений, которые носят вероятностный, слу 
чайный характер. Оно описывает совместное воздействие на изучаемое явление небольшого числа случайно сочетающихся факторов (по сравнению с общей суммой факторов, число которых неограниченно велико). Однако, если какой-либо фактор играет преобладающую роль, то распределение не будет подчиняться гауссову закону. Таким образом, нормальное распределение не следует считать универсальным. Гауссово распределение характеризует распределение непрерывных случайных величин и встречается в природе наиболее часто, за что и получило название «нормального».
Нормальное распределение - одно из самых важных распределений в статистике. Его кривая имеет следующие свойства:
· колоколообразна (унимодальна);
· симметрична относительно среднего;
· сдвигается вправо, если среднее увеличивается, и влево, если среднее уменьшается (при постоянной дисперсии);
| Рис. 1. Нормальное распределение |
Среднее арифметическое и медиана при нормальном распределении равны.
Биномиальное распределение (распределение Бернулли) – описывает распределение частоты события, обладающего постоянной вероятностью появления при многократных испытаниях. При большом числе испытаний оно стремится к нормальному.
При этом распределении разброс вариант (в простейшем случае: есть событие или нет события) является следствием влияния ряда независимых и случайно сочетающихся факторов. Например, для контроля, качества партии фармакологического препарата требуется подсчитать число изделий (упаковок), несоответствующих требованиям. Все причины, влияющие на качество препарата, принимаются одинаково вероятными и независящими друг от друга. Сплошная проверка качества в этой ситуации невозможна, поскольку изделие, прошедшее испытание, не подлежит дальнейшему использованию. Поэтому для контроля из партии наудачу выбирают определенное количество образцов изделий (n). Эти образцы всесторонне проверяют и регистрируют число бракованных изделий (х). Теоретически число бракованных изделий может быть любым, от 0 до n, но вероятности этих чисел различны. В основе принятия решения лежит сравнение распределения результатов контроля, т.е. данных, полученных опытным путем, и теоретического распределения, при котором гарантируется необходимое качество всей партии – достаточно низкая вероятность брака Р (x = k), где k – число возможных событий (в примере: одно событие – изделие с браком, второе – изделие без брака).
Крайним вариантом биномиального распределения является альтернативное распределение, при котором вся совокупность распределяется на две части (две альтернативы). Биномиальное распределение характеризует распределение дискретных случайных величин.
Распределение Пуассона – описывает события, при которых с возрастанием значения случайной величины, вероятность появления ее в совокупности резко уменьшается. Распределение Пуассона характерно для редких событий и может рассматриваться также как крайний вариант биномиального. Оно характеризует распределение дискретных случайных величин. Основное отличие этого закона распределения - резко выраженная асимметрия. Если обозначить вероятность одного события через р, то вероятность другого события q будет равна (1-р). Распределение этих событий будет тем асимметричней, тем больше различаются р и q.
Выясним, в каких случаях мода, медиана и среднее арифметическое дают близкие значения и от чего зависят различия между этими показателями.
Рассмотрим кривую распределения. По оси Y отобразим частоту встречаемости вариант в исследуемой совокупности, а по оси Х – значения вариант. Мода является абсциссой точки максимума кривой распределения. Графически медиану можно определить как точку на оси абсцисс, в которой ордината разделяет площадь под графиком распределения на две равные части.
Если график распределения имеет симметричную форму и точку максимума, то прямая, разделяющая площадь под кривой пополам, и центр тяжести лежат на оси симметрии (см. рисунок). Итак, для такого симметричного распределения мода, медиана и среднее арифметическое совпадают. Такое распределение называется нормальным.
Если график распределения имеет правостороннюю асимметрию ("хвост" вправо, в вариационном ряду преобладают варианты меньших значений), то в этом случае мода размещена левее, а среднее арифметическое - правее медианы (см. рисунок).
В самом деле, левее и правее медианы размещены одинаковые площади, но левой части соответствует меньшее основание, а правой – большее основание. Поэтому левая часть кривой выше правой, и мода будет находиться левее медианы. По этой самой причине медиана не может служить точкой равновесия, так как площадь части, соответствующей большему основанию, больше площади, размещенной на меньшем основании. Итак, среднее арифметическое находится правее медианы.
Таким образом, при правосторонней асимметрии левее расположена мода, далее медиана и правее – среднее арифметическое. Обратное расположение имеет место при левосторонней асимметрии графика. При этом, чем больше асимметричен график, тем больше расстояние между его средними точками. Поэтому при асимметричном распределении наилучшее представление о средней тенденции вариационного ряда из всех средних величин дает именно медиана.
Использование средних величин в медицине и здравоохранении:
а) для оценки состояния здоровья — например, параметров физического развития (средний рост, средний вес, средний объем жизненной емкости легких и др.), соматических показателей (средний уровень сахара в крови, средний пульс, средняя СОЭ и др.);
б) для оценки организации работы лечебно-профилактических и санитарно-противоэпидемических учреждений, а также деятельности отдельных врачей и других медицинских работников (средняя длительность пребывания больного на койке, среднее число посещений на 1 ч приема в поликлинике и др.);
в) для оценки состояния окружающей среды.
В настоящее время очень распространены различные опросы (маркетинговые, социологические и др.), в которых опрашиваемых просят выставить баллы изделиям, политикам и т. п. Затем из полученных оценок рассчитывают средние баллы и рассматривают их как интегральные оценки, выставленные коллективом опрошенных. При этом обычно для определения средних показателей применяют среднее арифметическое. Однако, такой способ на самом деле применять нельзя, поскольку баллы – характеристики, измеренные в порядковой шкале (см. выше), а вычислять среднее арифметическое характеристик, измеренных в порядковых шкалах, некорректно. Обоснованным в этом случае является использование в качестве средних баллов медианы или моды.
В медицинских исследованиях из средних величин наиболее часто используется среднее арифметическое. В то же время, у больных людей значения многих физиологических параметров имеют ассиметричное распределение, в виду того, что изменяются в сторону увеличения или уменьшения под влиянием заболевания. Поэтому для характеристики центральной тенденции их распределения, во многих случаях, более обоснованным является как раз использование медианы, а не средней арифметической.
1. Тестовые задания по теме:
1. СТАТИСТИЧЕСКАЯ СОВОКУПНОСТЬ - ЭТО:
а) группа определенных признаков
б) группа объектов, обладающих признаками сходства и различия
в) группа относительно однородных элементов (единиц наблюдения), взятых в единых границах времени и пространства
г) группа явлений, объединенных в соответствии с целью исследования
Правильный ответ в
2. ПЕРВИЧНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ СТАТИСТИЧЕСКОЙ СОВОКУПНОСТИ ЯВЛЯЕТСЯ:
а) объект наблюдения
б) признак
в) единица наблюдения
г) группа признаков
Правильный ответ в
3. ЕДИНИЦА НАБЛЮДЕНИЯ В СТАТИСТИЧЕСКОЙ СОВОКУПНОСТИ - ЭТО:
а) признак
б) первичный элемент совокупности, обладающий учитываемыми признаками
в) группа признаков
г) заболевание
Правильный ответ б
4. ЕДИНИЦА СОВОКУПНОСТИ – ЭТО:
а) описка по рассеянности или невнимательности
б) первичный элемент объекта статистического наблюдения, являющийся носителем признаков, подлежащих регистрации
в) разметка бланков по условным знакам
г) первичный элемент, из которых состоит вся наблюдаемая статистическая совокупность
Правильный ответ г
5. ПРИЗНАК - ЭТО:
а) объект статистического исследования
б) первичный элемент стат. совокупности
в) свойство, проявлением которого один предмет отличается от другого
г) характеристика статистической совокупности
Правильный ответ в
6. К КАЧЕСТВЕННЫМ ПРИЗНАКАМ ОТНОСЯТСЯ:
а) рост
б) пол
в) масса тела
г) жизненная емкость легких
Правильный ответ б
7. К КОЛИЧЕСТВЕННЫМ ПРИЗНАКАМ ОТНОСЯТСЯ:
а) рост
б) пол
в) исход заболевания
г) вид заболевания
Правильный ответ а
8. ВЫБОРОЧНАЯ СОВОКУПНОСТЬ ЭТО:
а) группа, состоящая из относительно однородных элементов, взятых в единых границах времени и пространства
б) совокупность, состоящая из всех единиц наблюдения, которые могут быть к ней отнесены в соответствии с целью исследования
в) часть генеральной совокупности, отобранная специальными методами и предназначенная для ее характеристики
г) всех единиц наблюдения, которые могут быть отнесены к ней в соответствии с целью исследования
Правильный ответ в
9. РЕПРЕЗЕНТАТИВНОСТЬ - ЭТО:
а) достаточный объем генеральной совокупности
б) достаточный объем выборочной совокупности
в) непохожесть выборочной совокупности на генеральную
г) способность выборочной совокупности наиболее полно представлять генеральную
Правильный ответ г
10. РЕПРЕЗЕНТАТИВНОСТЬ ВЫБОРОЧНОЙ СОВОКУПНОСТИ ПО ОТНОШЕНИЮ К ГЕНЕРАЛЬНОЙ ОБЕСПЕЧИВАЕТ:
а) обязательное соблюдение временных границ
б) достаточный объем наблюдений
в) оценка показателей в динамике
г) обязательное соблюдение пространственных границ
Правильный ответ б
11. ДОСТОИНСТВА СРЕДНЕЙ ВЕЛИЧИНЫ СОСТОЯТ В ТОМ, ЧТО ОНА...
а) позволяет анализировать большое число наблюдений
б) позволяет выявить закономерности при малом числе наблюдений и большом разбросе показателей
в) позволяет с помощью одного числа получить представления о совокупности массовых явлений
г) позволяет с помощью одного числа получить представления о распространенности массовых явлений
Правильный ответ в
12. ЕДИНИЦА НАБЛЮДЕНИЯ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ В ЗАВИСИМОСТИ ОТ:
а) программы исследования
б) плана исследования
в) цели и задач исследования
г) количества наблюдений
Правильный ответ в
13. ВАРИАЦИОННЫЙ РЯД - ЭТО:
а) ряд числовых измерений признака, расположенных в ранговом порядке и характеризующихся определенной частотой
б) ряд цифровых значений различных признаков
в) генеральная совокупность
г) ряд чисел, отражающих частоту (повторяемость) цифровых значений изучаемого признака
Правильный ответ а
14. СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ - ЭТО:
а) варианта с наибольшей частотой
б) разность между наибольшей и наименьшей величиной
в) обобщающая величина, характеризующая размер варьирующего признака совокупности
г) варианта, находящаяся в середине ряда
Правильный ответ в
15. МЕДИАНА – ЭТО:
а) варианта с наибольшей частотой
б) разность между наибольшей и наименьшей величиной
в) обобщающая величина, характеризующая размер варьирующего признака совокупности
г) варианта, находящаяся в середине ряда
Правильный ответ г
16. МОДА – ЭТО:
а) варианта с наибольшей частотой
б) разность между наибольшей и наименьшей величиной
в) обобщающая величина, характеризующая размер варьирующего признака совокупности
г) варианта, находящаяся в середине ряда
Правильный ответ а
17. ПРОЦЕСС СЛУЧАЙНОГО ОТБОРА ДАННЫХ НАЗЫВАЕТСЯ:
а) рандомизацией
б) выборкой
в) репрезентативностью
г) экспликацией
Правильный ответ а
18.ПРИЗНАК: «НАЛИЧИЕ ИЛИ ОТСУТСТВИЕ БОЛЕЗНИ» ЯВЛЯЕТСЯ:
а) количественным
б) непрерывным
в) дискретным
г) дихотомическим
Правильный ответ г
19. ЗАВИСИМЫЙ ПРИЗНАК, ИЗМЕНЯЮЩИЙ СВОЕ ЗНАЧЕНИЕ ПОД ВЛИЯНИЕМ ДРУГОГО:
а) факторный
б) результативный
в) дискретный
г) непрерывный
Правильный ответ б
20. ШКАЛА, УКАЗЫВАЮЩАЯ СТЕПЕНЬ ВЫРАЖЕННОСТИ ПРИЗНАКА:
а) номинальная
б) интервальная
в) порядковая
г) логарифмическая
Правильный ответ в
21. ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ СОСТОИТ ИЗ:
а) отдельных единиц наблюдения, взятых в известных границах времени и пространства
б) всех единиц наблюдения, которые могут быть отнесены к ней в соответствии с целью исследования
в) всех единиц наблюдения, которые могут быть отнесены к ней независимо от цели исследования
г) всех единиц наблюдения, обладающих определенным признаком
Правильный ответ б
22. ОДНОЙ ИЗ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН ЯВЛЯЕТСЯ:
а) показатель соотношения
б) медиана
в) среднее квадратическое отклонение
г) интенсивный показатель
Правильный ответ б
23. ОТНОШЕНИЕ СУММЫ ЗНАЧЕНИЙ ВСЕХ ВАРИАНТ К ОБЩЕМУ ИХ КОЛИЧЕСТВУ - ЭТО:
а) медиана
б) средняя арифметическая
в) мода
г) среднее квадратическое отклонение
Правильный ответ б
24. СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА ПРИМЕНЯЕТСЯ В ЦЕЛЯХ...
а) обобщения числовых характеристик варьирующего явления при разработке или сводке материала
б) обобщения качественных характеристик
в) сравнения и сопоставления явлений
г) разработки нормативов
Правильный ответ а
25. ИЗ ПРИВЕДЕННЫХ СРЕДНИХ НАИБОЛЕЕ ЧАСТО В МЕДИЦИНСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ ИСПОЛЬЗУЮТСЯ:
а) средняя геометрическая
б) средняя арифметическая
в) средняя гармоническая
г) средняя алгебраическая
Правильный ответ б
26. ВЕЛИЧИНЫ, РАЗБИВАЮЩИЕ ВАРИАЦИОННЫЙ РЯД НА ОТДЕЛЬНЫЕ (ПО ВОЗМОЖНОСТИ РАВНЫЕ) ЧАСТИ:
а) квантили
б) варианты
в) ошибки средних величин
г) уровни ряда
Правильный ответ а
27. НА ЧЕТЫРЕ РАВНЫЕ ЧАСТИ ВАРИАЦИОННЫЙ РЯД РАЗДЕЛЯЕТ:
а) медиана
б) терцили
в) квартили
г) процентили
Правильный ответ в
28. ЕСЛИ ДВА СОСЕДНИХ ЗНАЧЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА ИМЕЮТ ОДИНАКОВУЮ ЧАСТОТУ, ТО:
а) ряд не имеет моды
б) мода равняется среднему арифметическому этих значений
в) вариационный ряд имеет две моды
г) модой является число, ближе стоящее, к середине ряда
Правильный ответ б
29. ЕСЛИ ДВА ЗНАЧЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА, НЕ ЯВЛЯЮЩИЕСЯ СОСЕДНИМИ, ИМЕЮТ ОДИНАКОВУЮ ЧАСТОТУ, ТО:
а) ряд не имеет моды
б) мода равняется среднему арифметическому этих значений
в) вариационный ряд имеет две моды
г) модой является число, ближе стоящее, к середине ряда
Правильный ответ в
30. В ЗАВИСИМОСТИ ОТ ВИДА СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ РАЗЛИЧАЮТ СЛЕДУЮЩИЕ ВИДЫ ВАРИАЦИОННЫХ РЯДОВ:
а) несгрупированный и сгрупированный
б) моментный и интервальный
в) дискретный и непрерывный
г) простой и сложный
Правильный ответ в
31.КАЧЕСТВЕННЫЕ ДАННЫЕ, КОТОРЫЕ МОГУТ БЫТЬ ОТНЕСЕНЫ ТОЛЬКО К ДВУМ ПРОТИВОПОЛОЖНЫМ КАТЕГОРИЯМ, ПРИНИМАЮЩИЕ ОДНО ИЗ ДВУХ ЗНАЧЕНИЙ, НАЗЫВАЮТСЯ:
а) дискретные
б) дихотомическими
в) количественными
г) непрерывные
Правильный ответ б
32.КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ПРИЗНАКИ, ПРИНИМАЮЩИЕ ЗНАЧЕНИЯ ЛИШЬ ИЗ НЕКОТОРОГО СПИСКА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ЧИСЕЛ, ОБЫЧНО ЦЕЛЫХ, НАЗЫВАЮТСЯ:
а) непрерывными
б) дихотомическими
в) случайными
г) дискретными
Правильный ответ г
33. РЯД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ, ХАРАКТЕРИЗУЮЩИХ ИЗМЕНЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ВО ВРЕМЕНИ, И ИМЕЮЩИЙ СОДЕРЖАТЕЛЬНЫЙ СМЫСЛ, ЭТО:
а) временной срез
б) временной ряд
в) произвольный ряд
г) вариационный ряд
Правильный ответ б
34.ДАННЫЕ, СОДЕРЖАЩИЕ ИНФОРМАЦИЮ О ТРЕХ ИЛИ БОЛЕЕ ПРИЗНАКАХ ДЛЯ КАЖДОГО ОБЪЕКТА, НАЗЫВАЮТСЯ:
а) одномерные
б) двумерные
в) многомерные
г) множественные
Правильный ответ в
35. КАЖДОЕ ЧИСЛОВОЕ ЗНАЧЕНИЕ В ВАРИАЦИОННОМ РЯДУ НАЗЫВАЮТ:
а) вариантой
б) случаем
в) медианой
г) модой
Правильный ответ а
36. ПРИ ПРАВОСТОРОННЕЙ АСИММЕТРИИ СЛЕВА НАПРАВО РАСПОЛОЖЕНЫ:
а) мода, медиана и среднее арифметическое совпадают
б) мода, далее медиана, затем среднее арифметическое
в) среднее арифметическое, далее медиана, потом мода
г) среднее арифметическое, мода, медиана
Правильный ответ б
37. ЕСЛИ ГРАФИК РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИМЕЕТ СИММЕТРИЧНУЮ ФОРМУ, ТО:
а) левее расположена мода, затем медиана и среднее арифметическое
б) левее расположена среднее арифметическое, затем медиана и мода
в) левее расположено среднее арифметическое, затем мода и медиана
г) мода, медиана и среднее арифметическое совпадают
Правильный ответ г
38. ЕСЛИ ВСЕ ЗНАЧЕНИЯ В ВАРИАЦИОННОМ РЯДУ ВСТРЕЧАЮТСЯ ОДИНАКОВО ЧАСТО, СЧИТАЕТСЯ, ЧТО ЭТОТ РЯД:
а) не имеет моды
б) имеет две моды
в) имеет одну моду
г) имеет три моды
Правильный ответ а
39. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ПРИЗНАКИ, ПРИНИМАЮЩИЕ ЛЮБОЕ ЗНАЧЕНИЕ НА НЕПРЕРЫВНОЙ ШКАЛЕ, НАЗЫВАЮТСЯ:
а) дискретные
б) случайные
в) непрерывные
г) порядковые
Правильный ответ в
40. РЕПРЕЗЕНТАТИВНОСТЬ, ОБОЗНАЧАЮЩАЯ СТРУКТУРНОЕ СООТВЕТСТВИЕ ВЫБОРОЧНОЙ И ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТЕЙ, НАЗЫВАЕТСЯ:
а) количественной
б) качественной
в) выборочной
г) случайной
Правильный ответ б
Дата добавления: 2015-09-06; просмотров: 281 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Статья 4.3. Обстоятельства, отягчающие административную ответственность | | | Light Travels in a Straight Line |