Зміст та порядок виконання роботи

1. Ознайомитись з постановкою задачі дослідження статичних характеристик датчиків випадкових величин та одержати у викладача персональне завдання.

2. Скласти план роботи, структурну схему алгоритму розв’язання задачі, написати та відладити відповідну Pascal – програму.

3. Сформувати масив випадкових величин розмірності 512 з заданим законом розподілу.

4. Побудувати варіаційний ряд, полігон та гістограму.

5. Визначити числові характеристики статичного розподілу.

6. Обчислити теоретичні частоти гіпотетичного закону розподілу, нанести їх на гістограму та з’єднати плавною кривою.

7. Визначити та побудувати автокореляційну функцію та енергетичний спектр випадкової послідовності чисел довжиною 512.

Методичні вказівки щодо порядку виконання пп. 4– 7 наводяться нижче на конкретних прикладах.

1. ВИЗНАЧЕННЯ ЗАКОНУ РОЗПОДІЛУ

ВИПАДКОВОЇ ВЕЛИЧИНИ.

1.1.Побудова статистичних розподілів.

Збір статистичних даних, які називаються статистичним спостереженням, є першим етапом статистичного дослідження і має на меті реєстрацію елементів, що складають досліджуване масове явище. Результати статистичного спостереження оформляють у вигляді таблиці з одним входом, у першому стовпчику знаходиться номер досліду , а в другому зареєстроване значення випадкової величини .

Приклад. Випадкова величина - фактичний щоденний об’єм перевезень вантажів по керуванню автомобільним транспортом за 30 днів /табл.1/.

Таблиця 1

	126,3 122,0 107,4 122,5 121,5 118,6 143,9 113,4 119,8 132,0		109,3 118,4 107,4 141,9 105,7 110,3 118,6 128,3 132,8 135,9		141,9 132,4 105,6 109,8 113,0 121,5 118,6 108,3 105,0 132,4

Домовимся кожне окреме значення параметра, отримане в результаті -го

досвіду, позначати і називати варіантой /у даному випадку це /, а ряд, утворений варіантами, - варіаційним рядом, або рядом розподілу. Число, що показує, скільки разів зустрічається кожна варіанта у варіаційному ряді, називається частотою.

При аналізі різноманітних даних часто реєструється 100 і більш варіант. У цих випадках обчислення характеристик розподілу простіше і зручніше проводити шляхом угруповання значень варіант у визначені інтервали. При побудові таких интервальних рядів рекомендується користуватися такими правилами:

1. Число інтервалів к вибирають у залежності від числа спостережень відповідно таким даним:

п к-1

40-100 7-9

100-500 8-12

500-1000 10-16

1000-10000 12-22.

2. Довжини інтервалів, як правило, вибирають однаковими. Якщо ж розподіл вкрай нерівномірний, то в області максимальної концентрації результатів спостережень варто вибирати більш вузькі інтервали.

Розмір інтервалу визначають по формулі:

, / 1/

де і - відповідно максимальна і мінімальна варіанти.

При визначенні меж інтервалів рекомендується починати ряд із значення, розмір якого на 1/2 інтервалу менше , і закінчувати ряд розміром, що перевищує також на 1/2 інтервалу.

Побудову інтервального варіаційного ряду починають з упорядкування таблиці, куди заносять інтервали, центри інтервалів і частоту варіант.

Приклад. У АСУП на ділянці контролю встановлений автомат для виміру опору мікромодульних резисторів СКПМ-0, 25-1, 5 кОм у кількості 100 шт. виведені на друк у вигляді табл.2.

Таблиця 2

1, 521 1,310 1,563 1,542 1,418

1,568 1,521 1,548 1,510 1,405

1,471 1,508 1,613 1,440 1,513

1,324 1,384 1,512 1,617 1,486

1,525 1,556 1,459 1,567 1,523

1,435 1,714 1,468 1,553 1,423

1,392 1,492 1,467 1,497 1,462

1,494 1,706 1,376 1,465 1,368

1,524 1,494 1,541 1,505 1,525

1,475 1,568 1,375 1,528 1,314

1,482 1,493 1,608 1,467 1,522

1,465 1,475 1,597 1,472 1,441

1,446 1,384 1,503 1,393 1,426

1,383 1,547 1,468 1,557 1,330

1,613 1,387 1,396 1,419 1,575

1,638 1,636 1,522 1,454 1,553

1,547 1,619 1,491 1,547 1,418

1,590 1,569 1,430 1,565 1,474

1,658 1,577 1,547 1,471 1,548

1,556 1,506 1,502 1,431 1,450

Найбільше значення = 1,714 і найменше значення = 1,310.

У таблиці кількість варіант п = 100, тому оптимальне число к -1 = 7 ¸ 9, приймаємо к -1 = 7, звідки к = 8. Розмір інтервалу визначаємо по формулі /1/:

.

Знаходимо межи интервального ряду:

нижню

і верхню

.

Будуємо за даними табл. 2 ряд розподілу - табл. 3, де - частота варіант у даному інтервалі.

Таблиця 3

Інтервал	Центр інтервалу	Частота
1,281-1,339 1,340-1,398 1,399-1,457 1,458-1,516 1,517-1,575 1,576-1,634 1,635-1,693 1,694-1,752	1,310 1,369 1,428 1,487 1,546 1,605 1,664 1,723

1.2. Побудова гістограми

Для наочності статистичного розподілу будують різноманітні графіки, одним із яких є гістограма. При її побудові по вісі абсцис відкладають інтервали, а над ним проводять відрізки, паралельні вісі абсцис на відстані . Площа -го часткового прямокутника дорівнює - частоти варіант, які увійшли у -й інтервал. Отже, площа гістограми дорівнює сумі всіх частот /об’єму вибірки/ . Якщо використовується варіаційний ряд відносних частот , то площа відповідної цьому ряду гістограми дорівнює одиниці.

При побудові гістограми масштаб обирають таким, щоб максимальна ордината складала 5/8 основи.

На мал. 1 зображена гістограма частот розподілу, які приведені у табл. 3.

1.3. Числові характеристики статистичного розподілу

У теорії ймовірності в якості основних параметрів розподілу випадкової величини знаходить широке застосування різноманітні числові характеристики: математичне сподівання, дисперсія, початкові і центральні моменти різноманітних порядків. При вивченні статистичних розподілів, побудованих по вибірковим даним, кожній числовій характеристиці випадкової величини відповідає її статистична аналогія - оцінка числової характеристики.

Основними вибірковими характеристиками є: вибіркова середня і вибіркова дисперсія , які визначаються за формулами:

а/ для згрупованих даних

/2/

/3/

б/ для незгрупованних данних

/2а/

/3а/

Оцінки, що обчисляються по формулі /2/, /3/, називаються крапковими. Для спрощення розрахунків вихідні варіанти заміняють умовними, які визначаються по формулі:

, /4/

де х ₀ - умовний нуль, який зручно обрати варіантой, що розташована приблизно в середині варіаційного ряду.

Тоді величини і будуть розраховуватися за формулами:

; /5/

, /6/

де /7/

При розрахунку і за формулами /5/ і /6/ зручно користуватися розрахунковою таблицею, що складається таким чином:

1. Перший, другий і третій стовпчики утворюють статистичний розподіл /варіаційний ряд, наприклад, табл. 3/.

2. У четвертий стовпчик записують умовні варіанти .

У клітину стрічки /середина варіаційного ряду/, що містить нуль, пишуть

0; у клітині над нулём послідовно -1, -2, -3 і т.д., під нулем - 1, 2, 3 і т.д.

3. Множать частоти на умовні варіанти і записують їх у результат у п'ятий стовпчик, внизу сумують.

4. Множать частоти на квадрати умовних варіант і записують їхній результат у шостий стовпчик, внизу також сумують.

5. Множать частоти на квадрати умовних варіант, збільшених на одиницю, і записують результат в сьомий контрольний стовпчик, їхню суму поміщають у нижню клітину.

Сьомий стовпчик служить для контролю обчислень, якщо:

/8/

то обчислення проведені правильно.

Після перевірки правильності обчислень знаходять умовні моменти і по формулі /7/, записують і по формулі /5/ і /6/.

Приклад. Обчислити вибіркову середню і дисперсію за даними табл.3.

Розв’язок. По приведеній схемі складемо табл. 4.

Таблиця 4

Інтервал	Центр інтервалів
1,281-1,339 1,340-1,398 1,399-1,457 1,458-1,516 1,517-1,575 1,576-1,634 1,635-1,693 1,694-1,752	1,310 1,369 1,428 1,487 1,546 1,605 1,664 1,723		-3 -2 -1	-12 -20 -14 = 15	= 209	= 339

Обчислимо умовні моменти і :

Запишемо вибіркову середню і дисперсію :

= 0,15 × 0,058 + 1,487 = 1,496; (2,09 - 0,0225)×0,0034 = 0,007.

Середнєквадратичне відхилення

1.4. Обчислення теоретичних частот

Для визначення теоретичних частот заздалегідь із знання фізичних або інших особливостей досліджуваних процесів вибирають принциповий вид теоретичної функції розподілу.

Побудова теоретичної кривой розподілу роблять шляхом обчислення теоретичних частот по формулі:

/9/

де - можливість влучення випадкової величини а -й інтервал. Ця ймовірність дорівнює:

< < = /10/

відповідно нижня і верхня межа інтервалу;

значення функції розподілу випадкової величени на цих границях.

Якщо відома щільність ймовірності для теоретичного закону розподілу, то

/11/

Підставивши формули /9/ і /10/ у /8/, одержимо співвідношення для визначення теоретичних частот у такому вигляді:

/12/

/13/

Якщо в якості теоретичного розподілу прийнятй нормальний розподіл, то для співвідношень /11/ і /12/ справедливі рівності:

/14/

/15/

де = - табульована функція Лапласа

- нормовані змінні; - цент -го інтервалу;

- табульована функція.

Приклад. Обчислення теоретичних частот покажимо на даних табл.3 і складемо табл.5.

1. У першому, другому і третьому стовпчиках помістимо дані табл.3.

Таблиця 5

Інтервал	Центр інтервалів					Округлен-не зна-чення
1,281-1,339 1,340-1,398 1,399-1,457 1,458-1,516 1,517-1,575 1,576-1,634 1,635-1,693 1,694-1,752	1,310 1,369 1,428 1,487 1,546 1,605 1,664 1,723		-2,241 -1,530 -0,819 -0,108 0,602 1,313 2,024 2,735	0,0325 0,1238 0,285 0,3965 0,3332 0,1691 0,0519 0,0093	2,27 8,65 19,91 27,71 23,28 11,82 3,63 0,65

2. У четвертий стовпчик запишемо значення стандартизованої зміної:

.

3. За даними табл.2 додатку визначимо значення функції і помістимо їх у п'ятий стовпчик.

4. Знайдемо значення .

5. Помножимо значення на і запишемо результати в шостий стовпчик:

.

6. Округлимо значення до цілого числа і запишемо їх у сьомий стовпчик.

7. Обчислені округлені значення теоретичних частот нанесемо на гістограму і з'єднаємо плавною кривою /мал.2/.

Перевірка згоди емпіричного і теоретичного розподілу параметрів повинна виконуватися відповідно до ГОСТ 00-74 “Прикладна статистика. Правила перевірки згоди досвідченого розподілу з теоретичним”, і це може бути темою однією з наступних лабораторних робіт.

Для обчислення автокореляційної функції утворимо відцентровану випадкову величну:

Слід зауважити, що послідовність теж має випадковий характер, але її середнє значення приблизно дорівнює нулеві.

Автокореляційна функція перших 512 значень має вигляд:

(нормований коефіцієнт)

.

При наявності нормуючого множника Е, R (0)=1.

Енергетичний спектр відцентрованої послідовності слід обчислювати за формулою:

Кожен член суми є квадратом амплітуди складових дискретного перетворення Фур'є (ДПР), і знаходиться як

.

Зміст звіту

1. Назва та мета лабораторної роботи, зміст поставленого викладачем завдання.

2. План виконання роботи.

3. Структурні схеми розроблених підпрограм та їх роздруковані тексти.

4. Таблиці та графіки, згідно методичних указівок до п.п. 4-7 персонального завдання.

5. Інтерпретація отриманих результатів.

6. Висновки по роботі.

Питання для самоконтролю

1. Пояснити різницю між гіпотетичними параметрами розподілу та статистичними.

2. Привести методику побудови варіаційного ряду, полігона, гістограми.

3. Пояснити особливості обчислень статистичного середнього значення та дисперсії.

4. Привести структурну схему алгоритму обчислення автокореляційної функції та енергетичного спектру, дати пояснення цих понять на фізичному рівні.

ЛІТЕРАТУРА

1. Основна:

1.1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.:Высшая школа. 1998. – 400с.

1.2. Андре Анго. Математика для электро – и радиоинженеров. М.: Наука. 1967.- 780с.

1.3. Бендат Дж. Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных. Пер. с англ. – М.: Мир. 1989.

1.4.Седж Э, Мелс Дж. Теория оценивания и её применение в связи и управлении. М: Связь. 1976.

1.5.Тихонов В.И, Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М.: Радио и связь. 1991.-608с.

1.6. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь. 1982. – 624с.

1.7. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Сов. радио.1966.

1.8. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы: В 2-х ч. Ч.1,2: Пер с англ.-М.: Мир, 1988.-336 с.

1.9. Уидроу Б., Стринз С. Адаптивная обработка сигналов. Пер. с англ. М.: Радио и связь. 1989.

1.10. Конспект лекцій.

Дата добавления: 2015-08-13