Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе.

Теорема Эйлера и правильные многогранники

Теорема Эйлера:

В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин на 2 больше числа рёбер.

С помощью теоремы Эйлера мы можем получить ответ на вопрос:

какие правильные многогранники могут существовать?

1. Пусть количество рёбер правильного многогранника, выходящих из одной вершины, равно m, а гранями являются правильные n -угольники.

2. Выразим входящие в формулу Эйлера величины В (вершины) и Г (грани) через:

Р (ребра), m, n, где n и m — целые числа и m≥3, n= 3; 4 или 5.

3. Так как каждое ребро соединяет две вершины, и в каждой вершине сходятся m рёбер, то 2Р=Вm.

Тогда В=2Рm

4. Так как каждое ребро многогранника содержится в двух гранях, то Гn=2Р.

Тогда Г=2Рn

5. Подставляя полученные выражения для Г и В в формулу Эйлера Г+В−Р=2, получаем

2Рm +2Рn −Р=2

6. Поделив обе части равенства на 2Р, получим

1m +1n −12 =1Р

7. Решим это уравнение при полученном в предыдущем доказательстве значении n= 3 и найдём допустимые значения m.

1m +13 −12 =1Р

1m −16 =1Р

По смыслу Р>0, значит 3≤m≤5.

Таким образом теорема Эйлера разрешает существование следующих правильных многогранников:

1. m=3,n=3,P=6,Г=4 — тетраэдр

2. m=3,n=4,P=12,Г=6 — куб

3. m=3,n=5,P=30,Г=12 — додекаэдр

4. m=4,n=3,P=12,Г=8 — октаэдр

5. m=5,n=3,P=30,Г=20 — икосаэдр

Правильные многогранники в нашем мире:

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе.

1. Всем знают вещество хлорид натрия, который более известен как соль, но немногие в курсе, что кристаллы соли являются по форме кубами.

2. Минерал сильвин также имеет кристаллическую решетку в форме куба.

3. Кристаллы пирита имеют форму додекаэдра.

4. монокристалл алюминиево-калиевых квасцов имеет форму октаэдра

5. кристалл сернистого колчедана FeS имеет форму додекаэдра

6. Сальвадор Дали на картине «Тайная вечерня» изобразил И. Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

7. Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX веке являются, конечно, графические фантазии Маурица Корнилиса Эшера (1898-1972), голландского художника, родившегося в Леувардене. Мауриц Эшер в своих рисунках как бы открыл и интуитивно проиллюстрировал законы сочетания элементов симметрии.

8. Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает многогранник, именно потому, что такое строение позволяет выдерживать давление на глубине.Еще многогранник оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус.

9. Футбольный мяч представляет собой модель многогранника с 32 гранями, 20 из которых – правильные шестиугольники (белые), а 12 – правильные пятиугольники (чёрные). Такие многогранники называются полуправильными.

Дата добавления: 2015-08-09