Движение свободного твердого тела

Рассмотрим свободное твердое тело D, движущееся относительно неподвижной системы отсчета Охуz (рис. 4.6). Положение тела в любой момент времени однозначно определяется заданием произвольного жестко связанного с ним треугольника М ₁ М ₂ М ₃, т. е. заданием девяти декартовых координат, определяющих положения вершин этого треугольника. Однако так как расстояния между вершинами треугольника при его движении не изменяются (как расстояния между любыми точками твердого тела), то координаты вершин будут связаны друг с другом соотношениями:

Здесь x_k, y_k, z_k (k = 1, 2, 3) - декарто-вые координаты k -й вершины треу-гольника М ₁ М ₂ М ₃; l ₁₂, l ₂₃, l ₃₁ - рас-стояния между соответствующими вершинами этого треугольника.

Поэтому для определения положения тела D достаточно задать шесть декартовых координат, остальные три могут быть найдены с помощью выше записанных уравнений.

Число S независимых координат, однозначно определяющих положение тела в пространстве, равно числу степеней свободы тела.

Следовательно, для свободного твердого тела S = 6.

Обычно в качестве независи-мых координат выбирают декартовые координаты х_А, у_А, z_A произвольной точки А, принятой за полюс, и три угла Эйлера относительно де-картовой системы координат Ах ₁ у ₁ z ₁, движущейся поступательно с полю-сом А (для простоты на рис. 7 углы Эйлера не показаны). Для задания движения свободного тела D необ-ходимо определить:

Рис. 7

(13)

Уравнения (13) называются уравнениями свободного движения твердого тела.

Из (13) следует, что если зафиксировать углы Эйлера , то тело D движется поступательно как выбранный полюс А, а если мысленно остановить полюс А, то тело D совершает сферическое движение вокруг этого полюса А. При свободном движении твердого тела оба эти движения происходят одновременно. Следовательно, перемещение свободного твердого тела D из одного положения бесконечно близкое складывается из посту-пательного перемещения тела вместе с полюсом А и поворота вокруг мгновенной оси АР, проходящей через этот полюс (рис. 7).

Поэтому скорость и ускорение любой точки М свободно движущегося тела складываются из скоростей и ускорений точки М в поступательном движении вместе с полюсом А и из скорости и ускорения точки М в сферическом движении вокруг этого полюса и определяются по формулам:

;

,

где , - скорость и ускорение полюса А; - скорость точки М, а - её ускорение в сферическом движении вокруг полюса А.

ПРИМЕР 1. Конус с углом при вершине и радиусом основания катится по неподвижной плоскости без скольжения (рис.8). Скорость центра основания . Определить в данный момент времени угловую скорость , угловое ускорение , скорость и ускорение точки В конуса.

Решить задачу при следующих данных:

, , .

Решение. Конус совершает сферическое движение. Для определения положения мгновенной оси ОР конуса найдем две точки, скорости которых в данный момент времени равны нулю. Такими точками являются точка О и любая точка L касания конуса с неподвижной плоскостью хОу. Прямая ОР - образующая конуса, проходящая через точки О и L в каждый момент его движения является мгновенной осью ОР вращения тела (рис. 8).

Для определения мгновенной угловой скорости конуса опустим из точки С на ось ОР перпендикуляр . Тогда согласно (6)

.

Найдем скорость точки В, опустив из нее перпендикуляр ВК на мгновенную ось ОР, равный по величине 2 :

Поскольку скорость точки С – постоянна по величине, то вектор мгновенной угловой скорости также является постоянным по модулю. При качении конуса по неподвижной плоскости хОу конец вектора , т. е. точка А описывает окружность радиуса (рис. 8). Согласно (4)

, (14)

где – угловая скорость вращения конуса вокруг оси Oz. Для вычисления на рис. 8 проведем из точки С на ось Оz перпендикуляр

см.

Тогда

и из (14)

.

Для определения уско-рения точки В конуса вос-пользуемся теоремой (7):

,

где

см/с².

а

см/с².

На рис. 9 вектор осестремительного ускорения направлен из точки В к мгновенной оси вращения ОР. Вектор вращательного ускорения перпендикулярен плоскости, проходящей через векторы и .

Вектор полного ускорения точки В определяется диагональю параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах, модуль которого

.

Дата добавления: 2015-08-09