Постановка задачи. Примечание: на протяжение всей работы используются только натуральные числа (целые

Введение

Примечание: на протяжение всей работы используются только натуральные числа (целые, больше нуля)

Зная, что все простые числа имеют вид 6k±1 (кроме 2 и 3), где k – натуральное, то логично выделить два типа таких простых чисел: 6k-1 и 6k+1, так же стоит помнить, что не все числа 6k±1 являются простыми.

Говоря о близнецах, мы говорим, что есть некоторые k, где 6k-1 и 6k+1 являются простыми, как например 5 и 7, которые находятся на k=1,

6k-1	k	6k+1

Оранжевым помечены простые образующую пару близнецов, синим – одиночные простые, зеленый – k при которых наблюдаем пару близнецов.

Некоторые наблюдения:

Так отпадает интерес рассматривать любые иные числа, кроме чисел типа 6k±1, то ниже несколько таблиц, показывающие как появляются составные в типах 6k-1 и 6k+1

Таблица появления составных кратных 5 (тип 6k-1)

	6k-1	k	6k+1
				5*5
5*7
				5*11
5*13
				5*17
5*19
				5*23
5*25
				5*29
5*31

Мы можем заметить, что если число k кратно 5, то 6*(k-1)+1 и 6*(k+1)-1 будут кратны 5-ти, то есть будут являться составными, и только такие составные в типах 6k-1 и 6k+1 будут кратны 5-ти и никакие другие.

Общий вид кратных 5-ти на рядах 6k-1 и 6k+1 будет следующим 6*(5* k+1)-1 и 6*(5*k -1)+1, что не трудно доказывается при рассмотрении остатков:

6*(5*k +1)-1 – разберем на составные:

6*5*k, остаток при делении на 5 равен 0

6*1 остаток при делении на пять равен 1

-1 остаток при делении на 5 равен -1

Сумма остатков 0. Доказано.

6*(5*k -1)+1 – разберем на составные

6*5*k, остаток при делении на 5 равен 0

6*(-1), остаток при делении на 5 равен -1

+1, остаток при делении на 5 равен 1

Сумма остатков равна 0. Доказано.

Таблица для 7-ки (тип 6k+1)

	6k-1	k	6k+1
7*5
				7*7
7*11
				7*13
7*17
				7*19

Общий вид кратных 7-ми на рядах 6k -1 и 6k +1 будет следующим 6*(7*k -1)-1 и 6*(7*k+1)+1, что не трудно доказывает при рассмотрении остатков аналогично выше упомянутым.

Таблица для 11-ти (тип 6k-1)

	6k-1	k	6k+1
				11*5
11*7
				11*11
11*13
				11*17
11*19
				11*23
11*25

11 будет создавать составные типа 6*(11*k+2)-1 и 6*(11*k-2)+1

Таблица для 13-ти (тип 6k+1)

	6k-1	k	6k+1
13*5
				13*7
13*11
				13*13
13*17
				13*19

13 будет создавать составные типа 6*(13*k -2)-1 и 6*(13*k+2)+1

Таблица формул образования составных в рядах 6k-1 и 6k+1

k	числа 6k -1	формула образуемых составных числами 6k -1	числа 6k +1	формула образуемых составных числами 6k +1
		6*(5 k-1)+1 6*(5 k+1)-1		6*(7*k-1)-1 6*(7*k+1)+1
		6*(11 k-2)+1 6*(11k+2)-1		6*(13*k-2)-1 6*(13*k+2)+1
		6*(17k-3)+1 6*(17k+3)-1		6*(19*k-3)-1 6*(19*k+3)+1
		6*(23k-4)+1 6*(23k+4)-1		6*(25*k-4)-1 6*(25*k+4)+1
		6*(29k-5)+1 6*(29k+5)-1		6*(31*k-5)-1 6*(31*k+5)+1
		6*(35k-6)+1 6*(35k+6)-1		6*(37*k-6)-1 6*(37*k+6)+1
		6*(41k-7)+1 6*(41k+7)-1		6*(43*k-7)-1 6*(43*k+7)+1
…
n	m	6*(mk -n)+1 6*(mk +n)-1, где m=6*n-1 Преобразуем: 6*((6*n-1)k -n)+1 6*((6*n-1)k +n)-1		6*(mk -n)-1 6*(mk+n)+1, где m=6*n+1 Преобразуем: 6*((6*n+1)k -n)+1 6*((6*n+1)k +n)-1

Таким образом мы описали все составные в рядах 6k±1

Мы так же знаем, что если 6k-1 и 6k+1 простые, то это пара близнецов.

Осталось выяснить, как много существует таких k при которых 6k-1 и 6k+1 простые, если их бесконечно много, то и близнецов бесконечно много.

Упрощение

6*((6*n-1)k -n)+1 - составное

6*((6*n-1)k +n)-1 - составное

6*((6*n+1)k -n)+1 - составное

6*((6*n+1)k +n)-1 - составное

упростим

(6*n-1)k-n=a

(6*n-1)k+n=b

(6*n+1)k-n=с

(6*n+1)k+n=d

Следствие

6*a-1 - составное

6*b+1 - составное

6*c-1 - составное

6*d+1- составное

Таким образом мы описали все значения k, при которых образуются составные типа 6k-1 и 6k+1.

Постановка задачи

Требуется найти все натуральные значения p при которых

Решение данного неравенства покажет все значения p, где 6 p ±1 – это все существующие пары близнецов простых чисел.

Дата добавления: 2015-08-09