Плоское движение твердого тела

Напомним, что плоское движение твердого тела можно интерпретировать как суперпозицию поступательного и вращательного движения. В разделе “Динамика материальной точки” было получено, что поступательное движение системы материальных точек можно представить как движение материальной точки, масса которой равна массе всей системы, движущейся со скоростью, равной скорости центра масс системы, т.е.

(10)

где – сумма внешних сил, действующих на систему. Это уравнение применимо и к поступательному движению твердого тела.

В разделе “Закон сохранения момента импульса” было показано, что в подвижной системе отсчета, связанной с центром масс, уравнение моментов имеет такой же вид, как и в неподвижной системе, т.е. для вращательного движения тела относительно оси, проходящей через центр масс, можно записать (см. уравнение 8)

(11)

где и – момент инерции и момент сил относительно оси, проходящей через центр масс твердого тела.

Таким образом, уравнения (10) и (11) описывают плоское движение твердого тела.

В тех случаях, когда известно положение мгновенной оси вращения тела, и если мгновенная ось движется параллельно центру масс тела, можно применить уравнение моментов относительно мгновенной оси вращения

(12)

где и – момент инерции и момент сил относительно мгновенной оси. В этом случае для решения задачи достаточно только одного уравнения (12)

Получить выражения для кинетической энергии твердого тела при плоском движении, можно воспользовавшись теоремой Кенига, сформулированной для системы материальных точек, применив ее к твердому телу. Согласно этой теореме кинетическая энергия системы частиц складывается из кинетической энергии в системе отсчета, связанной с центром масс () и кинетической энергии, связанной с движением системы частиц как целого ( где – масса тела), т.е.

(13)

Вопросы для самоконтроля

1.Мерой инертности тела является

а) только масса;

б) только момент инерции тела относительно точки;

в) только момент инерции тела относительно оси;

г) и масса и момент инерции относительно оси.

Укажите ошибочные утверждения.

2. Теорема Штейнера утверждает, что

а) момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями;

б) момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, равен сумме момента инерции тела относительно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями;

в) момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Укажите правильную формулировку теоремы.

3. Маленький шарик массой движется по окружности радиуса . Момент инерции шарика относительно оси, перпендикулярной плоскости движения и проходящий через центр окружности равен:

а) б) в) г)

Укажите правильное утверждение.

4. Шар скатывается без проскальзывания с наклонной плоскости. При описании движения шара необходимо записать уравнение моментов относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка 2 и проходящей через некоторую точку шара. Через какие точки

а) б) в) г)

должна проходить ось, чтобы уравнение моментов имело вид где и – момент инерции и момент сил относительно этой оси, – угловое ускорение шара.

Укажите правильные утверждения.

5. Под действием некоторой постоянной силы твердое тело массой начинает двигаться, совершая плоское движение. Через некоторое время угловая скорость тела равна а скорость центра масс равна при этом точка приложения силы совершила перемещение Какие из уравнений позволяют найти работу этой силы:

а) б) в)

г) д)

где и – момент инерции и момент силы относительно оси, проходящей через центр масс тела, – угол поворота тела?

Дата добавления: 2015-08-09