Задача №2: «Построить треугольник A1B1C1, равный и параллельный треугольнику ABC на заданном расстоянии (20 мм)».

Решение в пространстве (задача имеет два возможных решения):

1. Через любую вершину треугольника АВС проводим прямую, перпендикулярную этой плоскости.

2. Фиксируем на одном из направлений построенного перпендикуляра произвольную точку Т. т.е. из двух решений выбираем одно.

3. Определяем истинную величину произвольного перпендикуляра.

4. На истинной величине фиксируем точку-вершину искомого треугольника на заданном в условии расстоянии.

5. По теореме Фалеса переносим точку на проекцию перпендикуляра.

6.Строим равный и параллельный треугольник и определяем видимость.

Порядок решения на эпюре:

а) по координатам строим проекции плоскости ABC;. Рис. 1,2,3.

б) проводим горизонталь и фронталь в плоскости; Рис. 4.

в) из любой вершины треугольника восстанавливаем перпендикуляр к данной плоскости, ограничиваем перпендикуляр произвольной точкой и находим натуральную величину полученного отрезка, на натуральной величине откладываем заданное расстояние (20 мм); Рис. 7.

г) на перпендикуляре находим точку, которая является вершиной искомого треугольника и через нее строим новый треугольник, равный и параллельный данному; Рис. 8.

д) определяем видимость плоскостей. Рис.9.

Задача №3: «Определить расстояние от точки до прямой»

Решение в пространстве:

1. Для определения расстояния от точки до прямой линии необходимо из точки провести перпендикуляр к данной прямой, найти точку их пересечения и определить расстояние от данной точки до точки встречи перпендикуляра и данной прямой. Если дана прямая общего положения, то и искомый перпендикуляр будет общего положения. Прямой угол в таком случае не будет проецироваться в виде прямого угла ни на одной из проекций. Поэтому, первым пространственным действием будет проведение через точку вспомогательной плоскости, перпендикулярной данной прямой.

2. Определить точку встречи данной прямой с перпендикулярной плоскостью.

3. Определить длину полученного отрезка.

Порядок решения на эпюре:

а) по координатам строим прямую и точку в двух проекциях; Рис. 1,2,3.

б) через точку проводим плоскость, перпендикулярную прямой (плоскость задаётся горизонталью и фронталью); Рис. 4.

в) решаем задачу на пересечение прямой с плоскостью; Рис.6.

г) методом прямоугольного треугольника определяем натуральную величину расстояния от точки до прямой. Рис. 7.

Теоретические основы

Ход решения задач

Построение комплексного чертежа точки

1. Оформление Эпюра (см. рисунок 1) 1.1 Подготовить формат А3, начертив рамку и таблицы основных надписей. 1.2 Заполнить таблицу данных по своему варианту. 1.3 Провести посередине листа горизонтальную ось – ось Х. Разделить поле чертежа на три равные части по вертикали.   2. Построение заданных точек Эпюра (см. рисунок 2).   2.1 В рассматриваемом примере точка А имеет координаты: Х=70 мм, Y=70 мм, Z=40 мм. Для построения проекций точки А от начала координат (точка 0) вдоль оси Х отложить 70 мм, затем провести от этой отметки перпендикуляр. Вниз вдоль этого перпендикуляра (линия проекционной связи) отложить Y=70 мм для получения горизонтальной проекции точки А, а вверх отложить Z=40 мм для построения фронтальной проекции. 2.2 У точки С координата Х=0 мм, поэтому проекции точки С будут лежать на осях координат: горизонтальная на оси 0y, а фронтальная - на оси 0z. 2.3 Постройте проекции всех заданных точек Эпюра: в 1 задаче точки А, В, С и D; во 2 и 3 задаче – точки А, В, С.

Теоретические основы	Ход решения задач
Способы задания плоскости На комплексном чертеже плоскость может быть задана изображениями тех геометрических элементов, которые вполне определяют положение плоскости в пространстве. Это: 1) три точки, не лежащие на одной прямой - треугольник (как показано на рисунке ниже); 2) прямая и точка вне прямой; 3) две параллельные прямые; 4) две пересекающиеся прямые; 5) следы плоскости.	3. Построение заданных элементов задач - условие эпюра (см. рисунок 3).   3.1 В 1 задаче даны плоскость, заданная треугольником и точка, не лежащая в этой плоскости. Соедините проекции точек А,В,С построив плоскость, заданную треугольником АВС.   3.2 Во 2 задаче дана одна плоскость, заданная треугольником – ΔАВС.   3.3 В 3 задаче даны отрезок АВ и точка С.

Теоретические основы

Ход решения задач

Прямые уровня в плоскости. Горизонталь – прямая, принадлежащая плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекции (на рисунке ниже – h). Фронталь – прямая, принадлежащая плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций (на рисунке ниже – f). На рисунке ниже горизонталь и фронталь принадлежат плоскости a: hÎa, fÎa h║p1, f║p2

4. Построение горизонтали и фронтали в плоскости ΔАВС (см. рисунок 4).   4.1 В задачах 1 и 2 из любой вершины треугольника провести горизонталь и фронталь, лежащие в плоскости ΔАВС. Горизонталь начните строить с ее фронтальной проекции, а фронталь – с горизонтальной проекции т.к.:   h¢¢║Ox, f ¢║Ox   В данном примере горизонталь проходит через вершину А и точку 1, т.е h(А1), а фронталь f - через вершину С и точку 2 – f(С2).

Теоретические основы

Ход решения задач

Т5. Построение перпендикуляра к плоскости Т5.1 Прямой угол проецируется без искажения на плоскость проекций, если одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций. Т5.2 Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна хотя бы к двум пересекающимся прямым, принадлежащим к этой плоскости. Если в плоскости взять не произвольные прямые, а горизонталь и фронталь, то для построения проекций перпендикуляра можно воспользоваться теоремой о проецировании прямого угла. В этом случае угол между перпендикуляром и горизонталью, а также между перпендикуляром и фронталью будет проецироваться без искажения соответственно на плоскости p1 и p2. Из этих двух утверждений можно сделать вывод: Т5.3 Для того чтобы прямая l в пространстве была перпендикулярна плоскости, необходимо и достаточно, чтобы на эпюре горизонтальная проекция прямой l ′ была перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция – к фронтальной проекции фронтали этой плоскости: l ′⊥h′ l ″⊥ f″

5. Построение перпендикуляра к плоскости ΔАВС (задача 1,2) и плоскости, перпендикулярной прямой (задача 3) (см. рисунок 5). 5.1 В 1 задаче из точки D проведите луч l, так чтобы согласно правилу Т5.3: l ′⊥h′, l ″⊥ f ″ 5.2 Во 2 задаче необходимо восстановить перпендикуляр из плоскости ΔАВС, т.е. построить его из любой вершины ΔАВС. В нашем примере – из точки А. Также согласно правилу Т5.3: l ′⊥h′, l ″⊥ f ″ 5.3 В 3 задаче ставится обратная задача: через точку С построить плоскость a, перпендикулярную данной прямой (АВ): a⊥АВ Исходя из правила Т5.2, плоскость a можно задать горизонталью и фронталью, тогда по правилу Т5.3: А ′ В ′⊥h′, А ″ В ″⊥ f ″ Вторые проекции h и f постройте из условия: h¢¢║Ox и f ¢║Ox

Теоретические основы

Ход решения задач

Т6.1. Пересечение прямой линии с плоскостью, заданной треугольником. Общий алгоритм решения: 1. Через данную прямую l провести вспомогательную проецирующую плоскость (ВСП) β: lÎβ. В данном примере проведена горизонтально-проецирующая ВСП. Поэтому, исходя из свойства собирательности проецирующей плоскости, на эпюре горизонтальная проекция прямой совпадает с горизонтальным следом ВСП, как показано на рисунке ниже: l'º hoβ. Собирающий след hoβ показан на чертеже толстым штрихом зелёного цвета. 2. Найти прямую пересечения данной плоскости ΔАВС и ВСП β(прямая 12): (12)=ΔАВСÇ β. 3. Найти искомую точку К на пересечении данной прямой и найденной прямой пере-сечения двух плоскостей: К=(1,2) Ç l. На рисунке слева сначала найдена фронтальная проекция точки К, т.к. l' совпадает с 1'2'. Горизон-тальная проекция К'находится из условия принадлежности: КÎ l.

6. Нахождение точки встречи прямой и плоскости (см. рисунок 6). Согласно общему алгоритму определения точки встречи прямой и плоскости (см. п. Т6.1.) выполните следующие построения: 6.1. В 1 задаче через перпендикуляр l, а во 3 задаче – через данный отрезок АВ, проведите вспомогательную секущую плоскость (ВСП) част­ного положения: 1 задача: lÎ β, 3 задача: АВÎ β. В данном примере проведена фронтально-проецирующая ВСП β. На чертеже она задана фронтальным следом foβ. В 1 задаче след foβ совпадает с фронтальной проекцией перпендикуляра l'', а во 3 задаче – с фронтальной проекцией отрезка А '' В ''. 6.2. В 1 задаче найдите линию пересечения данной плоскости АВС с ВСП β – прямую (3,4).Во3 задачепостройте линию пересечения плоскости a со ВСП β – прямую (1,2): 1 задача:(3,4)= ΔАВСÇβ,3 задача:(1,2)= aÇβ 6.3. Найти точку K. В 1 задаче – точку пересечения перпендикуляра l с построенной линией пересече­ния (3,4), во 2 задаче – точку пересечения отрезка прямой АВ и прямой (1,2): 1 задача:К=(3,4)Ç l, 3 задача:К=(1,2)Ç АВ.

Теоретические основы

Ход решения задач

Т7.1. Определение натуральной величины (НВ) отрезка. Способ прямоугольного треугольника: а) НВ отрезка АВ равна гипотенузе прямоугольного треугольника, один катет которого является горизонтальной проекцией (А'B'), а второй катет равен разности высот концов отрезка (ΔZ) – как показано на рисунке ниже в виде синего треугольника; б) или НВ отрезка АВ равна гипотенузе прямоугольного треугольника, один катет которого является фронтальной проекцией (А''B''), а второй катет равен разности глубин концов отрезка (ΔY) – как показано на рисунке ниже в виде зеленого треугольника.

7. Нахождение натуральной величины отрезка прямой (см. рисунок 7). 7.1. В 1 задаче методом прямоугольного треугольника (см. п.Т7.1) определить НВ отрезка DK, т.е НВ расстояния от данной точки Dдо плоскости ΔАВС.При этом искомый прямоугольный треугольник строится на горизонтальной проекцииD'K', а значит, вторым катетом будет разность высот точек D и К (ΔZ). Гипотенуза этого треугольника (отрезок K'DО) будет решением 1 задачи. 7.2. Во 2 задаче предварительно на перпендикуляре, проведенном из точки А, построить произвольную точку Т, а затем найти НВ этого произвольного отрезка АТ. Искомый прямоугольный треугольник также строится на горизонтальной плоскости проекции, первый катет – А'Т', а второй катет - разность высот точек А и Т (ΔZ).; 7.3. В 3 задаче определить НВ отрезка СК, т.е. НВ расстояния от точки С до прямой АВ.   После выполнения данного этапа 1 и 3 задачабудет решена.

Теоретические основы

Ход решения задач

Т8.1. Параллельность плоскостей Если пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (см. рисунок ниже), то такие плоскости параллельны между собой.

8. Построение параллельных треугольников на заданном расстоянии друг от друга (2 задача). 8.1 От горизонтальной проекции точки А (А') вдоль натуральной величины отрезка АТ отложить заданное расстояние между треугольниками (20 мм) и обозначить точку А1-нулевое (А1О). Затем из точки А1О провести отрезок параллельный Т'ТОдо пересечения с отрезком А'T' и обозначить первую вершину искомого △A1B1C1 – точку А1'. 8.2 Согласно утверждению Т8.1 для построения треугольника, параллельного и равного данному, необходимо через первую полученную точку искомого треугольника (А1') провести два отрезка, равных и параллельных одноименным сторонам данного треугольника: АВ ççА1В1 и АВ=А1В1 , АС ççА1С1 и АС=А1С1 . 8.3 Соедините две полученные вершины искомого треугольника (В и С). При этом третья сторона искомого треугольника С1В1 должна быть равной и параллельной третьей стороне заданного ΔАВС – стороне СВ.

Теоретические основы

Ход решения задач

Т9.1. Видимость треугольников можно определить двумя методами: - по конкурирующим точкам. Конкурирующие точки – две несовпадающие точки, принадлежащие двум объектам, но лежащие на одном проецирующем луче. У таких точек равные координаты по двум направлениям. - по представлению о расположении заданных объектов в пространстве относительно плоскостей проекций. Видимость объектов на одной проекции можно определить по другой их проекции. При этом полностью видимым будет тот объект, проекции которого располагаются дальше от оси Ох. На рисунке слева точка В выше, чем точка А, т.к. ZB>ZA. Точка А ближе к наблюдателю, чем точка В, т.к. YA>YВ .

9. Определение видимости треугольников (2 задача). 9.1 Последним этапом необходимо определить видимость треугольников на проекциях. В рассматриваемом примере данный DАВС выше искомого, что можно определить по фронтальной проекции треугольников, т.к. DАВС расположен дальше от оси Ох, чем искомый. Иначе говоря, высота (т.е. координата Z) его вершин больше, чем высота соответствующих вершин искомого DА1В1С1, поэтому на горизонтальной проекции (на виде сверху) он полностью видим и частично закрывает искомый треугольник. 9.2 По горизонтальной проекции можно определить, что данный DАВС ближе к наблюдателю, чем DА1В1С1, поэтому на фронтальной проекции (на виде спереди) DАВСтакже частично закрывает искомый DА1В1С1. Видимые контуры обоих треугольников обвести до толщины 1 мм соответствующим цветом, а невидимые участки сторон DА1В1С1 – штриховой линией.   На рисунке 10 показано окончательное решение Эпюра1.

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ К ЗАДАЧАМ № 1, 2, 3 (ЭПЮР 1)

Номер варианта

Координаты (х, y, z) исходных точек, мм

Определение расстояния

А

В

С

D

от С до АВ

от А до ВС

от В до АС

от С до АВ

от С до АВ

от А до ВС

от А до ВС

от В до АС

от С до АВ

от С до АВ

от А до ВС

от В до АС

от А до ВС

от А до ВС

от А до ВС

от С до АВ

от А до ВС

от А до ВС

от В до АС

от А до ВС

от С до АВ

от С до АВ

от А до ВС

от В до АС

от В до АС

от С до АВ

от С до АВ

от А до ВС

от А до ВС

от С до АВ

от В до АС

от А до ВС

от С до АВ

от А до ВС

от С до АВ

Формат 60х84 1/8. Тираж 30. Заказ

Отпечатано в редакционно-издательском отделе

ФГОУ ВПО «Морская государственная академия имени адмирала Ф.Ф. Ушакова»

353918, г. Новороссийск, пр. Ленина, 93

Дата добавления: 2015-08-18