Плоская задача теории упругости. краткие сведения из теории

Министерство образования и науки РФ

Рязанский институт (филиал)

Федерального государственного бюджетного

Образовательного учреждения

Высшего профессионального образования

«Московский государственный открытый университет

им. В. С. Черномырдина»

Кафедра архитектуры и градостроительства

Г. С. Нечипорук

Решение плоской задачи теории упругости

С применением пк лира

Методические указания для

Студентов строительных специальностей

Рязань 2012

УДК 539.3

Н – 59

Г. С. Нечипорук

Решение плоской задачи теории упругости с применение ПК ЛИРА. Методические указания для студентов строительных специальностей. Рязанский институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения «Московский государственный открытый университет им. В. С. Черномырдина», 2012

В методических указаниях дана постановка плоской задачи теории упругости. Приводится порядок решения указанной задачи с применением программного комплекса ЛИРА, реализующего метод конечных элементов. Приведены примеры по определению напряженно-деформированного состояния балки-стенки. Даны схемы и исходные данные для выполнения расчетно-графических работ.

Печатается по решению методического совета вуза

© Рязанский институт (филиал) МГОУ им. В. С. Черномырдина, 2012

© Г. С. Нечипорук

Оглавление

1) Плоская задача теории упругости. Краткие сведения из теории ……………..3

2) Решение плоской задачи с применением ПК ЛИРА …..........…………………6

2.1 Режим запуска программы…………………………………………………6

2.2 Режим формирования расчетной схемы ………………………………….7

2.3 Режим - расчет задачи…………………………………………………….11

2.4 Режим - анализ результатов расчета……………………………………...11

3) Приложение А – Задание для выполнения РГР 1. Расчет балки-стенки…...21

Плоская задача теории упругости. краткие сведения из теории

В общем виде задача теории упругости может быть сформулирована следующим образом: известен объект исследования (геометрические размеры, материал, условия опирания заданного объекта, действующая на объект нагрузка). Требуется определить:

для плоской задачи: три функции напряжений — s _x (x, y), s _y (x, y), t _xy (x, y); три функции деформаций — e _x (x, y), e _x (x, y), g _xy (x, y) и две функции перемещений — u (x, y), v (x, y). Поскольку задача плоская, то все функции, описывающие напряженно-деформированное состояние области являются функциями двух координат.

При решении плоской задачи можно использовать:

два дифференциальных уравнения равновесия (1) - уравнения Навье:

(1)

одно уравнение совместности деформаций в напряжениях (2):

(2)

где — дифференциальный оператор (гармонический оператор Лапласа),

три уравнения Коши (3), связывающих деформации и перемещения:

(3)

три уравнения закона Гука, связывающих деформации и напряжения. При плоском напряженном состоянии они имеют вид:

(4)^пнс

в случае плоской деформации:

(4)^пд

y Y _n n a s _x X _n x t _xy s _y   Рисунок 1

Решая систему из трех дифференциальных уравнений (1) и (2) с использованием статических граничных условий (5),

X _n = s _xl + t _xym,

Y _n = t _xyl + s _ym, (5)

связывающих внешние усилия с напряжениями внутри тела у поверхности (рисунок 1), можно найти выражения для напряжений.

В выражении (5) l = cosαи m = sinα – направляющие косинусы внешней нормали к поверхности тела.

Далее, по закону Гука (4) определяются деформации и, по соотношениям Коши, перемещения. Такой путь решения задачи принято называть – решение в напряжениях.

Если воспользоваться соотношениями Эри (6):

(6)

то решение плоской задачи можно свести к решению одного уравнения (7), которое называется бигармоническим уравнением совместности:

(7)

Соотношения Эри записаны в предположении, что внешними объемными силами пренебрегаем.

Аналитического (замкнутого) решения уравнения (7) не получено, хотя доказана единственность его решения. Поэтому при решении задачи прямым методом используют численные методы интегрирования: метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод граничных элементов, вариационные методы.

При решении плоской задачи обратным методом, когда решением уравнения (6), т. е. функцией j(x, y) задаемся и проверяем, каким граничным условиям оно соответствует, довольно часто используется решение в полиномах.

Ниже рассматривается решение плоской задачи прямым методом с применением программного комплекса ПК ЛИРА, реализующего метод конечных элементов.

При использовании МКЭ в форме метода перемещений стоит задача решения уравнения

, (8)

где: - вектор неизвестных перемещений узлов конечного элемента,

- матрица жесткости системы КЭ, которая формируется с использованием уравнений Коши (3) и закона Гука (4),

- вектор узловых сил (реакции).

Таким образом, решение задачи интегрирования уравнений теории упругости сводится к решению системы алгебраических уравнений.

Недостатком рассматриваемого метода является то, что напряжения в пределах элемента постоянны (однородное напряженное состояние), и потому для получения достаточной точности решения часто приходится использовать весьма густую сетку (особенно в местах с быстро изменяющимся напряженным состоянием и вблизи особенностей – мест приложения сосредоточенных усилий, углов штампа). Это приводит к системам уравнений высокого порядка. Для современных ЭВМ, имеющих большую скорость быстродействия и значительный объем памяти размер задачи не вызывает затруднений.

Дата добавления: 2015-08-18