Пример: разрушение круговой симметрии

Рассмотрим функцию

где функция

инвариантна относительно действия группы на пространстве = R .

Ортогональное действие порождено гладким гомоморфизмом (ортогональным представлением группы на ), который всякий элемент переводит в оператор (ортогональное преобразование пространства ), задаваемый ортогональной матрицей

Нетрудно убедиться, что R .

3.1. Вычисление критических орбит функции .

Критические точки: (0,0) и множество

где a = .

Нетрудно убедиться, что найденная критическая орбита является невырожденной.

3.2. Исследование порождающей функции (поиск точек ветвления на критической орбите).

Рассмотрим возмущенную функцию и найденную морсовскую критическую орбиту L (невозмущенной функции ). По теореме, от морсовских критических точек порождающей функции , где L, – фиксированный набор, отходят ветви изолированных морсовских критических точек возмущенной функции (, – малый вещественный параметр).

Если L, то . Тогда порождающая функция имеет вид

Итак, наша задача – найти морсовские критические точки порождающей функции (точки ветвления).

Будем исследовать порождающую функцию при возмущении по каждому параметру в отдельности.

Очевидно, что точки ветвления являются решениями уравнения , где

1) Возмущение по остальные

(2 точки ветвления).

2) Возмущение по :

(2 точки ветвления).

3) Возмущение по и остальные .

(2 точки ветвления).

4) Возмущение по остальные

4 точки ветвления.

5) Возмущение по , , , остальные .

Рассмотрим частный случай, когда .

а) ( и ).

б)

− имеет решение при условии:

или

− решения существуют при условии

и − решения существуют всегда.

Таким образом, 2 точки ветвления существуют всегда,

при условии добавляется еще 2 точки,

при условии добавляется 1 точка.

6) Возмущение по .

(8 точек ветвления).

Дата добавления: 2015-08-13