Математическая обработка двойных, некоррелированных, неравноточных измерений ряда «n» различных величин.

Вновь выполним постановку задач, определённых выше.

Дано:

Числовая информация:

x₁, x₂, …, x_n – ряд первичных измерений;

x´₁, x´₂, …, x´_n – ряд повторных измерений тех же величин;

p₁, p₂, …, p_n – веса первичных и повторных измерений (одинаковые!).

Теоретические посылки:

X _i – реальные значения измеряемых величин; i = 1, 2, …, n;

Х_i и X_í – случайные величины (СВ), представляющие собой вероятностные модели первичной и повторной измерительных технологий, некоррелированных между собой ( = 0_nn);

x_i X_i и x_í X_í - i-ые результаты первичных и повторных измерений, трактуемые как элементы спектров СВ X_i и X_í, каждая из которых является компонентом своего вектора «Х_n1» или «X΄_n1́»;

E(X_i) и E (X΄_i) – МО вероятностных моделей Х_i и Х_i΄;

X_i = E(X_i) = E(X΄_i) – предположение об отсутствии постоянных ошибок в каждой из технологий;

– ковариационные матрицы измерений, отражающие некоррелированность и неравноточность данных внутри каждой из технологий.

Найти:

1) - ННЗ измеряемых величин;

2) - ОТ измерений и ПГ о незн а чимости различия технологий первичных и повторных измерений;

3) - ОТ ННЗ измеряемых величин.

Решение:

1. Нахождение ННЗ измеряемых величин.

Каждая величина X _i измерялась дважды: x_i и x΄_i. Оба измерения не коррелированные, но не равноточные с весами p_i. Следовательно, ННЗ результатов таких измерений будет среднее арифметическое соответствующей пары:

, (D.21)

характеризующееся своим весом = 2p_i. (D.22)

2. ОТ измерений и ПГ о незн а чимости различия технологий.

Оценка точности измерений производится по их разностям

d_i = x_i - x΄_i, (D.23)

совокупность которых

d₁, d₂, …, d_n (D.24)

образует ряд некоррелированных неравноточных величин с весами

p_d = p_x / 2. (D.25)

На основании формулы оценки точности ряда некоррелированных неравноточных величин (S.5), мы можем сразу найти СКП единицы веса (ЕВ) разностей:

μ_d , (D.26)

где d΄ = d - - это разности, исправленные на величину

= [pd]/[p], (D.27)

являющуюся средним весовым всех разностей обеих технологий и представляющей собой ОФ математического ожидания разностей

E(D_n1) = E(X_n1) – E(X΄_n1). (D.28)

Однако нас интересует не СКП ЕВ разностей d, а СКП ЕВ измерений, т.е. μ_x = μ = . Переход от первой ко второй осуществляется путём подстановки в формулу (D.26) выражения для p_d из (D.25):

μ , (D.29)

Предположив отсутствие постоянной разности технологий, что отражено в «Теоретических посылках», получим предположение

E(D_n1) = 0, (D.30)

гипотезу о котором

H₀ = { E(D_n1) = 0} (D.31)

необходимо проверить против альтернативной

H_A = { E(D_n1) ≠ 0}. (D.32)

Проверка гипотезы (D.31) осуществляется по методике, рассмотренной в предыдущем разделе.

В качестве теста вычисляется величина

t_Э = . (D.33)

СКП среднего весового значения разностей – это СКП среднего весового:

(D.34)

Критическая область проверяемой гипотезы находится за пределами интервала t_T = [t_H; t_B], нижняя t_H и верхняя t_B границы которого – это квантили распределения Стьюдента, определяемые при (n – 1) степени свободы на уровне значимости a:

t_H = - t_B; t_B = t_n-1;a. (D.35

Когда t_Э t_T, нулевая гипотеза отвергается, т.е. среднее весовое значение разностей (D.23) признаётся зн а чимым и должно учитываться в формуле СКП ЕВ измерений (D.29).

Дата добавления: 2015-08-13