Понятие функции

Лекция 18

Число е

Рассмотрим последовательность {x_n} с общим членом .

Докажем, что она сходится.

Для этого достаточно доказать:

1) {x_n} возрастающая;

2) {x_n} ограничена сверху.

Рассмотрим и докажем, что последовательность {y_n} убывает, т.е .

Докажем, что она сходится.

Доказательство

Замечание1. Неравенство (*) верно: знаменатель увеличили, дробь уменьшилась.

Обозначим .

Итак, , т.е. последовательность {y_n} убывающая.

Так как , то последовательность ограничена, т.е. существует предел последовательности .

Замечание2. В доказательстве использовалась формула суммы бесконечно убывающей геометрической последовательности:

Обозначим …

Таким образом .

называют вторым замечательным пределом

Функции одной переменной

Понятие функции

Определение 18.1.

Пусть x и y – некоторые числовые множества. Если каждому элементу множества X единственным образом соответствует элемент множества Y, то это соответствие называется функцией.

Обозначение: .

Здесь y – зависимая переменная, х – независимая переменная (аргумент)

X – обл. определения (существования) функции (D(f));

Y – множество значений функции (E(f)).

Определение 18.2.

Пусть f(x) определена на некотором множестве X.

f(x) ограничена сверху (снизу), если:

.

Условие ограниченности: .

Дата добавления: 2015-08-03