Домашнее задание. Пример 1–241: Установить, что каждое заданное уравнение: 1) ; 2) ; 3) определяет

Дома

Л-3. Гл. 1

№ 241, 249 а), в), 266, 269 а), в), 286, 288 а), в), д).

Пример 1 – 241: Установить, что каждое заданное уравнение: 1) ; 2) ; 3) определяет окружность. Найти координаты центра и радиус для каждой окружности.

Решение:

1). Перепишем уравнение окружности: . Значит: и =4.

2). Перепишем уравнение окружности: . Значит: и =4.

3). Перепишем уравнение окружности: . Значит: и =2.

Ответ: 1) и =4; 2) и =4; 3) и =2.

☺FE☺

Пример 2 – 249: Установить, что каждое из заданных уравнений а): и в): определяют эллипс. Найти его центр , полуоси, и уравнения директрис для каждого из них.

Решение:

1). Перепишем заданное уравнение а): , или – это каноническое уравнение эллипса с центром . Полуоси эллипса: =3, . Вычислим: = – =4. Вычислим эксцентриситет: = = . Вычислим параметр директрисы: = = . Уравнения директрис : =– , : = или : и : .

2). Перепишем заданное уравнение в): , или – это каноническое уравнение эллипса с центром . Полуоси эллипса: =4, : фокусы расположены на оси . Вычислим: = – =4. Вычислим эксцентриситет: = = . Вычислим параметр директрисы: = =8. Уравнения директрис : =–8, : =8 или : и : .

Ответ: а):центр ; полуоси: =3, ; директрисы : , : ;

в): центр ; полуоси: =4, ; директрисы : , : .

☺F☺

Пример 3 – 266: Задано уравнение линии второго порядка: . Показать, что линия есть гипербола, записать её каноническое уравнение. Найти: а) полуоси, б) координаты фокусов, в) эксцентриситет, г) уравнения директрис и асимптот.

Решение:

1). Перепишем уравнение: – это каноническое уравнение гиперболы с фокусами, расположенными на оси .

2). Полуоси гиперболы: =4, =3. Вычислим: = + =25. Это значит: = – левый фокус, = – правый фокус. Вычислим эксцентриситет: = = . Вычислим параметр директрисы: = = . Уравнения директрис : =– , : = . Уравнения асимптот выражением: = ± = ± .

Ответ: а) уравнение гиперболы , =4, =3; б) фокусы = , = ; в) эксцентриситет = ; г) директрисы : =– , : = , асимптоты: = ± .

Пример 4 – 269 а): Задано уравнение линии второго порядка. Показать, что линия есть гипербола, найти её центр и записать её каноническое уравнение. Найти: полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис и асимптот.

Решение:

1). Перепишем уравнение: – это каноническое уравнение гиперболы с фокусами, расположенными на прямой линии =3, с центром в точке (2,–3).

2). Воспользуемся параллельным переносом системы координат: , . Тогда уравнение принимает канонический вид, для которого все величины можно записать, используя простейшие формулы. Полуоси гиперболы: =3, =4. Вычислим: = + =25. Это значит: = – левый фокус, = – правый фокус. Вычислим эксцентриситет: = = . Вычислим параметр директрисы: = = . Уравнения директрис : =– , : = . Уравнения асимптот выражением: = ± = ± .

3). Учитывая , , запишем уравнения для старой системы координат: для директрис : = , : = и для асимптот +3 = ± . Фокусы: = , = .

Ответ: уравнение: , =3, =4; фокусы = , = ; эксцентриситет = ; директрисы : = , : = , асимптоты: +3 = ± .

Пример 4 – 269 в): Задано уравнение линии второго порядка. Показать, что линия есть гипербола, найти её центр и записать её каноническое уравнение. Найти: полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис и асимптот.

Решение:

1). Перепишем уравнение: – это каноническое уравнение гиперболы с фокусами, расположенными на прямой линии =2, с центром в точке (2,–1).

2). Воспользуемся параллельным переносом системы координат: , . Тогда уравнение принимает канонический вид, для которого все величины можно записать, используя простейшие формулы. Полуоси гиперболы: =4, =3. Вычислим: = + =25. Это значит: = – нижний фокус, = – верхний фокус. Вычислим эксцентриситет: = = . Вычислим параметр директрисы: = = . Уравнения директрис : =– , : = . Уравнения асимптот выражением: = ± = ± .

3). Учитывая , , запишем уравнения для старой системы координат: для директрис : = , : = и для асимптот +1 = ± . Фокусы: = , = .

Ответ: уравнение: , =4, =3;фокусы = , = ; эксцентриситет = ; директрисы : = , : = , асимптоты: +3 = ± .

☺E☺

Пример 5 – 286: Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если известно, что: 1) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично оси и = ; 2) парабола расположена симметрично оси и проходит через точку (4,–8); 3) фокус параболы расположен в точке (0,–3).

Решение:

1). Из симметрии относительно оси следует, что уравнение имеет вид: . Используя параметр, получаем искомое уравнение: .

2). Из симметрии относительно оси следует, что уравнение имеет вид: . Используя точку , получаем: , получаем =–1. Получено уравнение: .

3). Из выражения для фокуса имеем: парабола симметрична оси . Это значит, что выражение для параболы: . Но (0,–3)= , откуда =–6. Получено уравнение: .

Ответ: параболы: 1) , 2) , 2) .

Пример 6 – 288: Установить, что уравнения: 1) ; 2) ; 3) определяют параболы. Найти координаты вершины и параметр для каждой параболы.

Решение:

1). Из уравнения: следует, что осью параболы является ось . Имеем параболу с параметром =2, ветви параболы направлены вправо. График заданной параболы – это график параболы , смещённый вправо на 2: имеем .

2). Из уравнения: следует, что осью параболы является ось . Имеем параболу с параметром = , ветви параболы направлены вверх. График заданной параболы – это график параболы , смещённый вправо на 1 и вверх на 3: имеем .

3). Из уравнения: следует, что осью параболы является ось . Имеем параболу с параметром =2, ветви параболы направлены вправо. График заданной параболы – это график параболы , смещённый влево на 1 и вверх на 2: имеем .

Ответ: 1) =2 и ; 2) = и ; 3) =2 и .

F☺☺E

Вопросы для самопроверки:

1. Что такое окружность, эллипс?

2. Что такое гипербола?

3. Что такое парабола?

4. Что такое эксцентриситет кривой второго порядка?

5. Что такое директриса для кривой 2-го порядка?

< * * * * * >

Дата добавления: 2015-08-03