ТУСУР, 12.04.2015. 2-4 курс

ЗАДАЧА 1. Найти несобственный интеграл

ЗАДАЧА 2. Вычислить предел .

ЗАДАЧА 3. Пусть движение материальной точки вдоль оси Ox задано дифференциальным уравнением , где - коэффициент сопротивления среды (). При точка имеет координату и скорость , . Существует некоторое сопротивление, наименьшее из возможных, при котором не происходит процесс колебаний. Для этого сопротивления вычислите среднюю скорость точки в промежутке времени от до момента максимального удаления от начала координат.

ЗАДАЧА 4. Пусть падение небольшого метеорита в любой точке планеты равновозможно. Рассчитать при этом условии вероятность того, что метеорит упадёт на территории между параллелями и северной широты.

Примечание. В расчётах планету считать идеальным шаром.

ЗАДАЧА 5. Поверхность пересекается с прямым круговым цилиндром . Найти максимальный угол между касательной к получившейся пространственной кривой и плоскостью 0xy.

ЗАДАЧА 6. Вычислить интеграл

Указание. Можно воспользоваться вычетами в комплексной плоскости.

Желаем успеха! На странице vk.com/tusur120415 решения и результаты проверки будут в воскресенье вечером.

2-3 курсы 2015

ЗАДАЧА 1. Найти несобственный интеграл

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 1. Сделаем замену . Тогда , , , , Функция монотонна.

Теперь найдём новые границы: Если , то .

Итак, = =

Для дальнейшего решения установим связь между интегралами и

В интеграле обозначим , , тогда , , тогда

= = =

- . Тогда = - .

Тогда = = .

Несобственный интеграл

= = . =

=

ОТВЕТ. Интеграл равен .

ЗАДАЧА 2. Вычислить предел .

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 2.

= = Рассмотрим последовательность . Она монотонно возрастает (так как каждое следующее слагаемое положительно). Так как для всех , то , а это частичная сумма бесконечной убывающей геометрической прогрессии, для которой . Таким образом, , то есть последовательность ограничена сверху. Если она монотонно возрастает и ограничена сверху, значит, существует её предел. (при этом искомое произведение = = ).

Тогда , разность: = , а это бесконечная геометрическая прогрессия, сумма которой равна . Так как , то , = = .

Ответ может быть записан в разных формах, например или .

Примечание. Есть и второй метод решения, с помощью степенных рядов. Его тоже оценить в 10 баллов.

На начальном этапе, в степени числа 5 получился ряд: . По предельному признаку Даламбера он сходится, т.к. . Обозначим . Тогда . Степенной ряд с интервалом сходимости можно почленно интегрировать, т.е. , а это бесконечная убывающая геометрическая прогрессия, её сумма . Тогда .

Итак, , следовательно, , тогда = .

ЗАДАЧА 3. Пусть движение материальной точки вдоль оси Ox задано дифференциальным уравнением , где - коэффициент сопротивления среды (). При точка имеет координату и скорость , . Существует некоторое сопротивление, наименьшее из возможных, при котором не происходит процесс колебаний. Для этого сопротивления вычислите среднюю скорость точки в промежутке времени от до момента максимального удаления от начала координат.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 3

Рассмотрим дифференциальное уравнение в виде . Характеристическим уравнением для этого линейного однородного дифф. уравнения является . Дискриминант .

При , то есть , имеется два действительных корня, и решение вида .

При , то есть при , только комплексные корни, тогда решение имеет вид (это соответствует процессу затухающих колебаний). Тогда наименьшее из возможных, когда корни действительные. Но при этом получается кратный корень, так как характеристическое уравнение имеет вид , т.е. .

Итак, кратный корень , в этом случае общее решение дифф. уравнения имеет вид .

Тогда производная

Применим условия Коши, получаем , то есть , , тогда

,

Теперь нам нужно найти такой момент времени, когда точка, запущенная со скоростью , останавливается, то есть , при этом достигается максимальное расстояние от начала координат, обозначим его .

Из второго уравнения: , то есть .

Сложив равенства, получим , то есть максимальное удаление

. Но изначально точка была на расстоянии 1 от начала координат, то есть пройдено расстояние , причём, как уже было установлено, это произойдёт за время . Тогда средняя скорость = .

Ответ. Средняя скорость равна .

ЗАДАЧА 4. Пусть падение небольшого метеорита в любой точке планеты равновозможно. Рассчитать при этом условии вероятность того, что метеорит упадёт на территории между параллелями и северной широты.

Примечание. В расчётах планету считать идеальным шаром.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 4

Задача на геометрическую вероятность. Для того, чтобы вычислить вероятность падения метеорита между широтами и , нужно вычислить, какая доля поверхности полусферы находится в данной полосе. Полная поверхность сферы . Так как рассматривается северное полушарие, то широты и > 0.

Уравнение верхней полусферы .

Формула площади поверхности для явно заданной функции: .

Не теряя общности, положим < . Тогда область D в плоскости 0xy, над которой расположена искомая часть полусферы, это кольцо, определяемое максимальным радиусом и минимальным , так как изначально взяли < .

Вычислим частные производные: , .

= .

Перейдём к полярным координатам. Определитель Якоби в этом случае .

= = =

= = =

= =

= . Отношение этой величины к площади сферы:

= . Примечание. Если и равны 0⁰ и +90⁰, то область охватывает северное полушарие, тогда P=1/2.

ОТВЕТ. .

Примечание. Формула площади поверхности может быть взята из справочника или легко выведена. Разбить область определения в плоскости Oxy на прямоугольники со сторонами , . Площадь части поверхности, лежащей над прямоугольником,, приближённо равна площади параллелограмма, содержащегося в касательной плоскости, его стороны - векторы и . Площадь параллелограмма = модулю их векторного произведения, что даёт , при предельном переходе от интегральной суммы к интегралу получается .

Примечание. Если студент не выводил эту формулу, а помнит наизусть или взял из справочника, баллы не снижаются.

ЗАДАЧА 5. Поверхность пересекается с прямым круговым цилиндром . Найти максимальный угол между касательной к получившейся пространственной кривой и плоскостью 0xy.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 5.

Для справки, гиперболический параболоид, при это будет эллиптический параболоид, так как коэффициенты станут одного знака.

Для того, чтобы найти уравнения пространственной кривой, введём параметр

Так как движение в проекции на плоскость 0xy происходит по окружности, то очевидно,

, . Тогда . .

Вычислим направляющий вектор касательной:

, .

= = .

Вообще, для произвольного вектора угол наклона к горизонтальной плоскости есть т.к. отношение высоты к основанию есть тангенс, в нашем случае вектор , поэтому = .

В задаче требуется только абсолютное значение угла, поэтому знаком «-» можно пренебречь. Итак, осталось найти экстремум величины . Но arctg функция монотонная, поэтому достаточно найти и приравнять к 0 производную только от . (Впрочем, даже если вычислить производную от , мы всё равно получим, что равенство нулю должно быть именно в числителе, и результат будет точно таким же). Итак, =

, что возможно лишь в двух случаях:

1) , этот случай соответствует поверхности - эллиптический параболоид. Для него любое горизонтальное сечение есть окружность, и угол наклона тождественно равен 0, и его максимум тоже 0.

2) , при этом , , что фактически даёт всего два разных значения: и . При этом угол между горизонтальной плоскостью и касательной к рассматриваемой кривой составляет , т.е. получаем значения и , по модулю они одинаковы, и равны величине .

Ответ: Максимальный угол составляет .

ЗАДАЧА 6. Вычислить интеграл

Указание. Можно воспользоваться вычетами в комплексной плоскости.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ 6. Обозначим , и сначала найдём корни выражения .

, корни и .

Таким образом, = =

Интеграл по действительной оси можно найти с помощью суммы вычетов в особых точках верхней полуплоскости: , в данном примере в верхней полуплоскости особые точки и . Это полюсы 2-го порядка. Найдём интеграл с помощью суммы вычетов функции . а именно .

По правилам вычисления вычетов для полюсов 2 порядка, умножаем соответственно на либо и вычисляем производную:

=

=

=

Вынесем i и приведём подобные:

= = =

= = = = . ОТВЕТ. = .

* * * * * * * * * * * * * * *

Примечание. Решение может быть получено без комплексных чисел и вычетов, с помощью разложения на простейшие дроби: и применения рекуррентной формулы для интегралов, содержащих 2 степень в знаменателе. Если такое решение доведено до конца, то тоже следует оценивать в 10 баллов.

Разложение будет иметь такой вид:

= ; =

= ; =

= = = = .

Дата добавления: 2015-08-03