Основные элементарные функции.

Степенные функция y=x^a

а) a – четное натуральное число; α= 2n, nєN

б) a – нечетное натуральное число; α=2 n+1, nєN

в,г) a – отрицательное число вида Y α = - 2 n, n є N α = - 2 n+1, n є N

Y а) 0 X

Y 0 X б)

Y 0 X г)

В каждом из случаев график функции проходит через точку с координатами .

у = х – прямая пропорциональность, у = 1/х – обратная пропорциональность, у = ах+в – линейная функция, у = ах²+вх+с - квадратичная

Показательная функция y=a^x, a >0, a¹1

Y 1 0 X а)

График функции проходит через точку при любом a.

Логарифмическая функция y=logax, a >0, a¹1 График функции проходит через точку при любом a

01 X а) a>1

y 0 1 X   б) 0<a<1

Y 1   0 X б)

Тригонометрические функции y=sinx,y=cosx,y=tgx, y=ctgx

рис. 1

рис. 2

Шкалы бывают арифметические (цена деления одинаковая) и логарифмические (цена деления увеличивается в фиксированное число раз, часто в 10 раз; начинается с 1).

Те, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами, оперируют наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. На основании этих наборов требуется построить функцию, к которой с высокой точностью близки все получаемые значения. Построение такой функции и её использование наз. аппроксимацией. Например,(рис.4). Пусть в результате произведенных измерений получены значения параметра р, отраженные на графике . Все точки почти ложатся на прямую, допуская некоторую погрешность, можно считать, что зависимость p(t) – линейная.

Аппроксимация используется также, если некоторая функция слишком сложна для вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах

Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.(рис.3)

Интерполи́рование —способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Линейное интерполирование, то есть приближение неизвестной функции при помощи линейной.

Пусть известно (например, из таблицы) и - значения функции y=f(x) в точках и соответственно.

Предполагаем, что между этими точками функция примерно совпадает с линейной.

Знаем уравнение линейной функции, проходящей через 2 данные точки: , где .

По предположению, и для любого х из промежутка значение функции f(x) приближённо равно - интерполяционная формула. Величина из интерполяционной формулы наз. интерполяционная поправка

Если по заданным значениям функции нужно найти приближенное значение аргумента, то используют обратное интерполирование. (по известному у, решая уравнение, находят х)

Задачи.

1. На графике (рис.1)отражены изменения затрат на производство некоторого продукта (нижний график) и цены на единицу продукции (верхний график) (в тыс. рублей). Какова начальная величина прибыли? При каких показателях выпуска продукции прибыль возрастала? Каково максимальное значение прибыли, и при каком условии оно получено?

2. По рис.2 укажите, каковы были расходы населения на покупку валюты в 1993 году; сколько условных единиц составили сбережения всех видов в 1991 и 1994 годах.

3.

рис. 5

По рис.5 ответьте на вопросы: Когда работа начала приносить прибыль? При какой величине заказа прибыль составила максимальное значение, и каково оно? При какой величине заказа производство перестало приносить прибыль?

х
у

4. Из функций, заданных с помощью таблиц, выберите ту, которая удовлетворяет данному уравнению, и закончите таблицу.

х
у

х
у

5. Затраты на перевозку одного и того же груза разными видами транспорта определяются формулами: ; , где х – расстояние в километрах, - стоимость перевозки в рублях. Постройте графики этих функций. На каких расстояниях выгодно пользоваться первым видом транспорта? Начиная, с какого расстояния экономичнее становится второй вид транспорта?

х
у	15,5	?	19,2

6.

табл.1

Расстояние между двумя шахтами А и В по шоссе 60 км. На шахте А добывают 200 т руды в сутки, а на шахте В – 100 т руды в сутки. Где нужно построить завод по переработке руды, чтобы для ее перевозки количество тонно-километров было наименьшим?

7. Найдите промежуточное значение y = f(6378), используя интерполяционную формулу и табл. 1:

табл.2

Решение:

х		1,05	1,1	1,15
у	1,35	1,85	2,55	4,45

табл.3

8. Пусть функция y=f(x) задана табл.2.

табл.1

а) Используя линейное интерполирование, найти f(1, 055), f(1, 105). б) Используя обратное интерполирование, найдите значение х, при котором f(x)=4.

х	f(x)
	0,8415
	0,9093
	0,1411
	−0,7568
	−0,9589
	−0,2794

9. Пусть мы имеем табличную функцию, которая для нескольких значений x определяет соответствующие значения f: (табл. 3). Какое значение может иметь такая функция в точке x = 2,5?

10. Укажите, к какому виду функций относятся функции, описывающие следующие зависимости, и каков характер их монотонности:

1) закон Ома U(I) = R∙I, где U – напряжение, I – сила тока, R =const– сопротивление;

2) зависимость потери стоимости бриллианта от массы одной из его частей при расколе бриллианта на две части, если она описывается формулой: f(x)= km²-kx²-k(m-x)², где k – коэффициент пропорциональности, m – масса бриллианта до раскола, х – масса одной из оставшихся частей;

3) зависимость длина пути, пройденного комбайном до наполнения бункера зерном, от урожайности убираемой культуры l (h)= ширина рабочего захвата жатки комбайна, V – вместимость бункера комбайна, h –

урожайность убираемой культуры;

4) рост народонаселения на небольшом отрезке времени, если он задается формулой: N(t) = N₀e^at, где N₀ – число людей при t = 0, N – число людей в момент времени t, a –константа;

5) звукоизоляция стен, если она вычисляется по формуле,, где р₀ – давление звука до поглощения, р – давление звука, прошедшего через стену, А – некоторая константа, которая в расчётах принимается равной 20 дБ.;

6) скорость потока частиц в отстойнике, если она описывается формулой , где - угол сужения потока вод;

7) число (N), показывающее ожидаемое количество поражения молнией прямоугольных зданий и сооружений, если оно вычисляется по формуле: , где h – наибольшая высота здания, n – среднегодовое число ударов молнии на 1 км² земной поверхности;

8) мощность паровой машины (N) в лошадиных силах, которая зависит от числа оборотов маховика в минуту (n), если она задается формулой:, где p – эффективное давление пара на поршень в кг /cм, L длина хода поршня в м, А - площадь поршня в см²;

9) закон зависимости центробежной силы (F) от скорости движущегося тела (v), если она задается формулой , где К – коэффициент пропорциональности, m – масса тела, r – радиус кривизны;

10) зависимость - количества глюкозы в крови пациента в момент времени t, если с – постоянная скорость введения глюкозы (г/мин), k – положительная постоянная, равная , где с₁ – скорость удаления глюкозы из кровеносной системы, (0)- начальное количество глюкозы в крови пациента, (t) = .;

11) закон падение человека с парашютом, где m –масса парашютиста, k – коэффициент, зависящий

от плотности воздуха, площади падающего тела и т.д.

Дата добавления: 2015-08-03