Введение. Кафедра Информатики

Кафедра Информатики

Тема КР

Использование метода половинного деления для определения точек смены направления тока в цепи

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к курсовой работе по

информатике

1308.3013ХХ.000ПЗ

(обозначение документа)

Группа			Фамилия, И., О.	Подпись	Дата	Оценка
Студент
Консультант
Принял

Уфа 2010 г.

Содержание

Введение. 3

Метод Касательных (Ньютона) 4

Создание приложения. 7

Вывод. 12

Список использованной литературы: 13

Приложение. 14

Код для формы Form1. 14

Код для формы Form2. 14

Код для формы Form3. 25

Код для формы Form4. 26

Введение

На практике часто возникает необходимость решить нелинейное уравнение. Существуют несколько способов решения уравнений на ЭВМ. В этой работе мы рассмотрим метод Ньютона (метод касательных). Задача состоит в том, чтоб определить точки смены знаков тока, изменяющегося по закону: . Программную реализацию осуществим в Lazarus.

Метод Касательных (Ньютона)

Формула итераций метода касательных имеет вид:

(1)

Этот метод называется методом касательных, или методом Ньютона. Действительно, последовательные приближения метода Ньютона сходятся гораздо быстрее, чем в общем методе итераций (скорость сходимости приближений в котором, напомним, та же, что у геометрической прогрессии со знаменателем при ).

Поскольку для метода Ньютона

(2)

то

(3)

В точке получаем , так как . Тем самым, в этом методе график пересекает прямую в точности по горизонтали, что приводит к очень быстрой сходимости итераций к . Именно, имеет место оценка

(4)

где с - некоторая постоянная (не зависящая от ). Если начальное приближение х0 взято достаточно близко от корня , то можно взять (5)

Заметим, что по сравнению с общей оценкой метода итераций

(6)

постоянная заменяется в оценке метода Ньютона на стремящуюся к 0 величину ; отсюда и высокая скорость сходимости.

Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что на каждом шаге мы строим касательную к графику в точке очередного последовательного приближения , а за следующее приближение берём точку пересечения этой касательной с осью Ох. Тем самым наклон прямой подстраивается на каждом шаге наилучшим образом (ведь кривизну графика, связанную с второй производной, мы не учитываем, и поэтому неизвестно, в какую сторону от касательной отклонится график).

Рис.1.Последовательные приближения метода Ньютона

Рис. 2. Алгоритм метода Касательных.

function solve(x0:real; eps: real): real;

var

x: real;

a: real;

ch: integer;

begin

x:=x0;

a:= I(x)/dI(x); ch:=0;

while Abs(a)>eps do

begin

ch:=ch+1; //защита от зацикливания - не более 1000 итераций

x:= x-a;

a:= I(x)/dI(x);

If (ch=1000) Then

begin

MessageDlg('Заданная вами точность не достигнута ', mtError, [mbOK], 0);

break;

end;

end;

solve:= x;

end;

Дата добавления: 2015-08-05