Периодическое продолжение функций

Напомним одно важное свойство периодических функций: если интегрируемая на всей числовой оси функция имеет период , то интеграл от этой функции по отрезку длиной не зависит от выбора начальной точки этого отрезка, то есть

. (7.4)

Отмеченное свойство позволяет представлять в виде ряда Фурье периодическую с периодом функцию, заданную не только на отрезке , симметричном относительно начала координат, но и на отрезке , где - любое число. В последнем случае при вычислении коэффициентов Фурье по формулам (7.3) согласно (7.4) следует только изменить пределы интегрирования: нижний на , а верхний на .

Теперь рассмотрим вопрос о разложении в ряд Фурье на отрезке непериодической функции , также удовлетворяющей условиям Дирихле на этом отрезке. Поскольку нас интересует разложение функции только в пределах отрезка , то периодически продолжим эту функцию на всю числовую ось (рис. 7.2), подчинив ее условию периодичности с периодом : .

Очевидно, что периодически продолженная функция является суммой построенного для нее ряда Фурье, которая совпадает с исходной функцией на отрезке и не совпадает с ней вне этого отрезка.

Пример 7.2. Функцию представить рядом Фурье на отрезке .

Р е ш е н и е. Используя формулы (7.3), учитывая при этом свойство (7.4) периодических функций, запишем выражения коэффициентов Фурье для заданной функции:

;

;

.

Применив метод интегрирования по частям, найдем интересующие нас циклические интегралы:

,

откуда

;

и аналогично:

,

откуда

.

Тогда искомые коэффициенты Фурье будут равны:

, ,

а ряд Фурье для заданной функции примет вид:

.

Задание 7.2. Функцию разложить в ряд Фурье на отрезке .

Ответ: .

Дата добавления: 2015-07-26