Гармоническое колебание

Одним из наиболее часто используемых типов детерминированных периодических сигналов является гармоническое колебание. Это обусловлено несколькими факторами. Во-первых, гармоническое колебание наиболее просто технически воспроизвести; во-вторых, только гармонический сигнал, проходя через линейные цепи, сохраняет свою форму; в-третьих, большинство используемых в радиоэлектронике сигналов с помощью аппарата Фурье может быть представлено суммой гармонических составляющих.

Гармоническое колебание аналитически можно записать как функцию косинуса или синуса. Чаще применяют функцию косинуса:

где A_m - амплитуда, w ₀ - частота, j ₀ - начальная фаза. Величина (w ₀ t + j ₀ )= y (t) определяет полную фазу колебания. Частота и период гармонического сигнала связаны соотношениями:

где w ₀ - циклическая частота, измеряемая в радианы/сек, f ₀ -частота, число колебаний за секунду в герцах (Гц, Hz); (10³ Гц = 1 кГц (килогерц), 10⁶ Гц = 1 МГц (мегагерц), 10⁹ Гц=1 ГГц (гигагерц)). Гармоническое колебание полностью характеризуется тремя параметрами: частотой (или периодом), амплитудой и фазой.

Функция s (t) определяет гармонический сигнал на временной плоскости (рис.1).

Рис. 1

Если в качестве оси абсцисс выбрать частоту, а оси ординат - амплитуду и фазу, то можно получить представление гармонического сигнала на частотной плоскости (рис. 2).

Рис. 2

В соответствии с формулами Эйлера

действительный гармонический сигнал можно записать в виде

.

Сигнал вида называется комплексным. В соответствии с теорией комплексных функций можно записать

и для любого момента времени на комплексной плоскости можно построить вектор функции (рис.3), который называют векторной диаграммой.

Рис. 3

Вектор вращается с угловой скоростью w ₀. На рисунке показаны положения вектора в моменты времени t =0 и t ₁ 0. При wt =2 p вектор опять попадает в положение t =0. Поэтому обычно векторную диаграмму представляют для t =0, а вращение вектора обозначают скоростью вращения (рис. 4), сам же вектор отображают комплексным числом , называемым комплексной амплитудой . Поэтому комплексный сигнал можно рассматривать как произведение комплексной амплитуды на фазовый множитель , который определяет скорость вращения вектора комплексной амплитуды.

где точка над амплитудой отражает комплексный характер амплитуды.

Рис. 4

Действительная часть функции есть проекция на действительную ось, т. е.

Из графика на рис.4 легко установить справедливость формул

Если действительный гармонический сигнал представить в виде суммы комплексных по формуле Эйлера, то для построения его комплексно-сопряженной части на частотной плоскости придется использовать и область отрицательных частот. Это показано на рис.5.

Рис. 5

Использование понятия комплексной амплитуды гармонического сигнала значительно упрощает расчет электрических цепей. Метод, основанный на использовании этого понятия, называется методом комплексных амплитуд.

Линейные преобразования гармонического сигнала легко свести к тем же преобразованиям комплексных амплитуд.

Пусть имеем сумму гармонических колебаний с одинаковой частотой:

.

Тогда

Таким образом, линейная комбинация нескольких гармонических сигналов с одной и той же частотой есть гармоническое колебание с той же частотой, комплексная амплитуда которого соответствует этой линейной комбинации.

Покажем, как меняется комплексная амплитуда при таких операциях как дифференцирование и интегрирование.

Пусть .

Тогда

;

откуда видим, что , т.е. дифференцирование гармонической функции соответствует умножению ее комплексной амплитуды на величину .

При интегрировании имеем

т.е. интегрирование гармонической функции эквивалентно делению комплексной амплитуды на частоту и повороту фазы на , т.е.

На векторных диаграммах операция дифференцирования соответствует повороту фазы на +90⁰, а интегрирования - повороту на -90⁰ относительно исходного вектора.

Дата добавления: 2015-07-24