III. Отрицание высказываний

Лекция. ТОМ.

Конъюнкция и дизъюнкция высказываний, законы этих операций (с доказательством). Отрицание элементарных и составных высказываний. Законы де Моргана.

Опр.1. Конъюнкцией двух высказываний α и β называется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба высказывания α и β.

Конъюнкцию будем обозначать символом α /\ β и читать «α и β». Определение конъюнкции можно записать в виде таблицы истинности:

α	β	α /\ β
и	и	и
и	л	л
л	и	л
л	л	л

Примеры:«Число 4 ∶2 и 4 – составное число»(И) «Число 4 ∶2, и 4 – простое число»(Л)  

Законы конъюнкции

1. Коммутативный закон конъюнкции: α /\ β ≡ β /\ α

док-во

α	β	α /\ β	β /\ α
и	и	и	и
и	л	л	л
л	и	л	л
л	л	л	л

Значения истинности в 3-й и 4-ой колонках совпали, значит закон выполняется.

1. Ассоциативный закон конъюнкции:

(α /\ β) /\ g ≡ α /\ (β /\ g)

док-во

α	β	g	α /\ β	(α /\ β) /\ g	β /\ g	α /\ (β /\ g)
и	и	и	и	и	и	и
и	и	л	и	л	л	л
и	л	и	л	л	л	л
л	и	и	л	л	и	л
и	л	л	л	л	л	л
л	и	л	л	л	л	л
л	л	и	л	л	л	л
л	л	л	л	л	л	л

II. Дизъюнкция высказываний

Опр 1. Дизъюнкцией двух высказываний α и β называ­ется высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из высказываний α или β. Другими словами, дизъюнкция ложна тогда и только тогда, ко­гда ложны оба высказывания α и β, и истинна во всех остальных случаях.

Дизъюнкцию будем обозначать символом α V β и читать «α или β». Определение дизъюнкции можно записать в виде таблицы истинности:

α	β	α V β
и	и	и
и	л	и
л	и	и
л	л	л

Примеры:«Число 4 ∶2 или 4 – составное число»(И) «Число 4 ∶2 или 4 – простое число»(И) «Число 4 ∶3 или 4 – простое число»(Л)

Законы дизъюнкции

1. Коммутативный закон дизъюнкции: α V β ≡ β V α

док-во

α	β	α V β	β V α
и	и	и	и
и	л	и	и
л	и	и	и
л	л	л	л

Значения истинности в 3-й и 4-ой колонках совпали, значит закон выполняется.

1. Ассоциативный закон дизъюнкции:

(α V β) Vg ≡ α V (β V g)

док-во

α	β	g	α V β	(α V β) V g	β V g	α V (β Vg)
и	и	и	и	и	и	и
и	и	л	и	и	и	и
и	л	и	и	и	и	и
л	и	и	и	и	и	и
и	л	л	и	и	л	и
л	и	л	и	и	и	и
л	л	и	л	и	и	и
л	л	л	л	л	л	л

Конъюнкция и дизъюнкция высказываний связаны дистрибутивными законами.

Дистрибутивный закон конъюнкции относительно дизъюнкции: для любых трех высказываний α, β и g верно

(α V β) /\ g ≡ (α /\ g) V(β /\ g)

Доказать закон можно с помощью таблицы истинности

α	β	g	α V β	(α V β) /\ g	α /\ g	β /\ g	(α /\ g) V(β /\ g)
и	и	и	и	и	и	и	и
и	и	л	и	л	л	л	л
и	л	и	и	и	и	л	и
л	и	и	и	и	л	и	и
и	л	л	и	л	л	л	л
л	и	л	и	л	л	л	л
л	л	и	л	л	л	л	л
л	л	л	л	л	л	л	л

Значения истинности в 5-й и 8-ой колонках совпали, значит закон выполняется.

Дистрибутивный закон дизъюнкции относительно конъюнкции: для любых трех высказываний α, β и g верно

(α /\ β) V g ≡ (α V g) /\ (β V g)

Доказать закон можно с помощью таблицы истинности

α	β	g	α /\ β	(α /\ β) V g	α V g	β V g	(α V g) /\ (β V g)
и	и	и	и	и	и	и	и
и	и	л	и	и	и	и	и
и	л	и	л	и	и	и	и
л	и	и	л	и	и	и	и
и	л	л	л	л	и	л	л
л	и	л	л	л	л	и	л
л	л	и	л	и	и	и	и
л	л	л	л	л	л	л	л

Значения истинности в 5-й и 8-ой колонках совпали, значит закон выполняется.

III. Отрицание высказываний

Опр. 1. Отрицанием некоторого высказывания α называется такое высказывание, которое истинно, когда α ложно, и ложно, когда α истинно.

Обозначают отрицание высказывания α символом , читают «не α» или «неверно, что α ». Определение отрицания можно записать в виде таблицыистинности.

и	л
л	и

Примеры: : «Число 4 ∶ 2»; : «Неверно, что число 4 ∶ 2» или : «Число 4 не делится на 2»

Опр. 2. Отрицание отрицания называетсядвойным отрицанием.

Обозначается двойное отрицание двумя чертами: . Двойное отрицание равносильно высказыванию : ≡ . Это утверждение можно доказать с помощью таблицы истинности:

и	л	и
л	и	л

Отрицание составных высказываний подчиняется законам де Моргана

Первый закон де Моргана: Отрицание конъюнкциидвух высказываний α и β равносильно дизъюнкции их отрицаний:

α /\ β ≡ α V β

док-во

α	β	α	β	α /\ β	α /\ β	α V β
и	и	л	л	и	л	л
и	л	л	и	л	и	и
л	и	и	л	л	и	и
л	л	и	и	л	и	и

Второй закон де Моргана: Отрицание дизъюнкции двух высказываний α и β равносильно конъюнкции их отрицаний:

α V β ≡ α /\ β

док-во

α	β	α	β	α V β	α V β	α /\ β
и	и	л	л	и	л	л
и	л	л	и	и	л	л
л	и	и	л	и	л	л
л	л	и	и	л	и	и

---

Дата добавления: 2015-07-24