Проверка основного закона динамики вращения твердого тела с помощью маятника Обербека.

РАБОТА № 4.

Оборудование: маятник Обербека, набор грузов, секундомер.

Краткая теория

Вращение твердого тела постоянной массы вокруг неподвижной оси описывается уравнением.

(1)

Здесь М - момент сил, действующих на тело, I - момент инерции тела, ω - угловая скорость. Это - основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси.

Оно напоминает уравнение Ньютона для материальной точки.

(2)

Роль массы играет момент инерции I, роль скорости V - угловая скорость ω, роль силы - момент силы М, роль импульса - момент импульса .

Если момент внешних сил относительно оси вращения равен нулю, то момент импульса остается неизменным:

При М =0 , поэтому Iω=const.

Для замкнутой системы имеет место закон сохранения момента импульса

(3)

Всякое твердое тело можно представить как совокупность большого числа частиц элементарного объема ΔV_i с массой Δm_i.

Моментом инерции тела относительно оси называется величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг этой оси и равная сумме произведений масс всех частиц тела на квадраты их расстояний от той же оси (рис. 1).

(4)

В общем случае моменты инерции находятся интегрированием по всему объему тела

(5)

Момент инерции одного и того же тела различен для разных осей вращения. Он зависит и от направления оси, и от места ее прохождения.

Пример:

v момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной к его плоскости, определяется формулой

(6)

v момент инерции того же диска относительно оси, совпадающей c диаметром, вычисляется по формуле

(7)

	O^’

Если момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела, равен I₀, то момент инерции относительно любой другой оси, параллельной первой, может быть вычислен на осно­вании теоремы ГЮЙГЕНСА – ШТЕЙШЕРА.

, (8)

где a – расстояние между осями.

Пример:

Тело представляет собой тонкий длинный стержень с сече­нием любой формы. Максимальный поперечный размер стерж­ня b«l. Момент инерция относительно оси, перпенди­кулярной к стержню и проходящей через его середину, ра­вен

(9)

Найти момент инерции стержня относительно оси O'O'.

На основании теоремы Гюйгенса – Штейнера

Математическая форма записи основных закономерностей для поступательного и вращательного движений остается неизменной. Это удобнопроиллюстрировать следующей таблицей.

Поступательное движение	Вращательное движение
Масса	m	Момент инерции	I
Скорость	V	Угловая скорость	ω
Количество движения	mV	Момент количества движения	I ω
Сила	F	Момент силы
Кинетическая энергия		Кинетическая энергия
Второй закон ди­намики		Второй закон ди­намики
Закон сохранения количества дви­жения		Закон сохранения момента количества дви­жения

Экспериментальная установка. Маятник Обербека состоит из четырех спиц, укрепленных на втулке под прямым углом друг кдругу. На ту же втулку насажены два шкива различных диаметров: d₁=18,6 мм, d₂=35 мм. Момент инерции системы можно менять, передвигая грузы m₁ вдоль спиц.

Момент силы создается грузом m, привязанным к нити H, которая навита на один из шкивов.

Задача: Экспериментально установить характер зависимости углового ускорения от момента силы и момента инерции.

Гипотеза: Ожидаемые результаты можно представить в виде двух зависимостей.

1. При I=const, β=f(M), β= 2. При М=const, β=f(I), β=

Обоснование методики эксперимента.

1. Момент инерции маятника может быть вычислен по формуле

(10)

где R - расстояние от центра масс грузов m₁ до оси вращения, ρ - радиус цилиндра, l - образующая цилиндра.

1. Момент инерции маятника может быть найден из графика зависимости β=f(M), I=const.
2. График зависимости β=f(I) можно построить, предварительно получив серию графиков зависимости β=f(M) для разных мо­ментов инерции.

Для построения зависимости β=f(M) нужно иметь не менее четырех экспериментальных точек, β=f(I) - не менее пяти точек.

1. Для решения задачи потребуются следующие динамические и кине­матические закономерности:

1. Момент силы натяжения Т можно менять двояко: изменением радиуса шкива и изменением массы груза, висящего на нити.
2. Момент инерции маятника можно изменять, перемещая грузы на спицах.
3. Чтобы движение маятника и чашки с грузами было равноускоренным, необходимо предварительно установить маятник в положение без­различного равновесия.
4. Моменты сил трения могут быть оценены из графика и эксперимен­тально по минимальному значению массы, при котором маятник на­чинает вращаться.

Задание:

1. Составьте план эксперимента и таблицу дли занесения результатов измерений.
2. Произведите измерения и постройте графики.
3. Оцените моменты сил трения по графикам и по минимальной массе на чашке маятника.
4. Находятся ли результаты эксперимента в согласии с формулой (10)? Как меняется относительная роль двух последних членов формулы (10) при изменении величины R? Существенно ли отличается поправка, определяемая этими членами, от ошибок измерений? Ответ на два последних вопроса лучше всего дать в виде графика зависимости величины от R², где

.

1. Проанализируйте результаты измерений и сформулируйте выводы.

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ (для самооценки готовности к защите)

1. Объясните, как получена формула (10)?
2. Как определить момент инерции крестовины, не снимая с нее грузов?
3. При выполнении серии экспериментов установлено, что угол на­клона графика зависимости β=f(M) I=const умень­шается. Как перемещались грузы на спицах (приближалась к оси или удалялись от нее)?
4. Приведите примеры, иллюстрирующие зависимость момента инерции от распределения массы в теле относительно оси вращения.
5. Что общего и каковы различия между понятиями масса и момент инерции?

ЛИТЕРАТУРА

Сивухин Д.В. Общий курс физики. - T.1. - М: Наука, 1974

§§ 32, 33, 35, 36.

Дата добавления: 2015-07-24