При помощи маятника максвелла

И ПРОВЕРКА ЗАКОНА СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Задание: определить момент инерции маятника Максвелла с предельной относительной погрешностью e, не превышающей 5 %.

Рис. 1

Оборудование и принадлежности: установка для проведения измерений, линейка, микрометр.

ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ

Общий вид установки показан на рис. 1. На вертикальной стойке 3 основания 1 крепятся два кронштейна: верхний 4 и нижний 5. На верхнем кронштейне находится электромагнит 6, фотоэлектрический датчик 7 и устройство 8 для крепления и регулировки длины бифилярной подвески маятника. Нижний кронштейн вместе с прикрепленным к нему фотоэлектрическим датчиком 9 можно перемещать вдоль стойки и фиксировать в произвольно выбранном положении.

Маятник представляет собой диск 11, закрепленный на стержне 10, подвешенном на двух нитях. На диске крепятся сменные кольца. Маятник фиксируется в верхнем исходном положении с помощью электромагнита. На вертикальной стойке нанесена миллиметровая шкала, по которой определяется ход маятника.

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ

Рис. 2

Измерение момента инерции маятника Максвелла. Маятник Максвелла представляет собой диск, жестко посаженный на цилиндрический стержень и подвешенный на двух параллельных нитях (бифилярный подвес, рис. 2). Закручивая нити на стержень, поднимают маятник на высоту h ₀, т.е. сообщают ему потенциальную энергию относительно нижнего положения, определяемую длиной нити подвеса. При освобождении маятника он начинает движение: поступательное вниз и вращательное вокруг своей оси симметрии. Вращение маятника продолжается по инерции и в самой низкой точке (когда нити раскручены), что приводит вновь к наматыванию нити на стержень, а, следовательно, к подъему маятника.

Рис. 3

Движение маятника (рис. 3) происходит под действием силы тяжести , приложенной в центре масс, и силы натяжения нитей , приложенных к стержню в точках касания нитей (силы трения не учитываем). Направим ось X вертикально вниз, а ось Z вдоль оси стержня. Тогда, по второму закону Ньютона в проекции на ось X:

(1)

или

ma_x = mg - 2T, (2)

где a_x – проекция ускорения центра масс маятника, m – масса маятника.

Основное уравнение динамики вращательного движения маятника:

M_z = J_Ze_Z (3)

где – проекция момента силы натяжения нитей на ось вращения Z, r ₀ – радиус стержня, J_z – момент инерции маятника относительно оси вращения Z, e _z – проекция углового ускорения маятника на ось Z. При отсутствии проскальзывания нерастяжимой нити

(4)

С учетом (4) уравнение (3) примет вид

(5)

Из (2) и (5) следует:

(6)

При a = const и v₀ = 0

(7)

где t – время движения маятника, h – расстояние, пройденное маятником за это время. Из соотношений (6) и (7) находим

(8)

Расчет момента инерции маятника Максвелла. Правильная форма элементов маятника Максвелла позволяет рассчитать его момент инерции.

Рис. 4

Момент инерции маятника составляет (рис. 4) стержень 1, диск 2 и сменное кольцо 3. Момент инерции стержня J₁ =1/2 m₁r₀² , момент инерции диска J₂= 1/2 m₂ R₁², момент инерции кольца J₃ =1/2 m₃(R₁²+R₂²). Момент инерции маятника

(9)

где m₁, m₂, m₃ – массы соответственно стержня, диска и кольца, а r₀, R₁ и R₂ – их радиусы (рис. 4).

Закон сохранения энергии. Если пренебречь силами трения и сопротивления воздуха, то для системы маятник Максвелла - Земля будет выполняться закон сохранения полной механической энергии:

(10)

где

v = at = 2h/t, (11)

Соотношение (10) вытекает из законов динамики (см. Приложение 1).

Дата добавления: 2015-07-24