Определение пределов, дифференцирование и интегрирование

Функция limit находит предел функции в некоторой точке, включая плюс или минус бесконечность. Первым входным аргументом limit является символическое выражение, вторым - переменная, а третьим точка, в которой определяется предел. Пусть, например, требуется вычислить

>> syms a x

>> limit((1+1/x)^(x*a),x,Inf)

ans =

exp(a)

Функция limit позволяет находить односторонние пределы. Для нахождения предела справа следует указать четвертый дополнительный аргумент 'right', а слева - 'left'. Найдите решение следующих двух задач

>> syms x

>> limit((10+x)^(1/x),x,0, 'left')

ans =

>> limit((10+x)^(1/x),x,0, 'right')

ans =

inf

>>

Обратите внимание, что обычный предел в точке нуль не существует:

>> limit((10+x)^(1/x),x,0)

ans =

NaN

Определение производной через предел позволяет применять limit для дифференцирования функций. Например, найдем первую производную функции , используя равенство

>> syms h x

>> L=limit((atan(x+h)-atan(x))/h, h, 0);

>> pretty(L)

------

1 + x

Вычисление производных любого порядка проще производить при помощи функции diff. Символическая запись функции указывается в первом входном аргументе, переменная, по которой производится дифференцирование - во втором, а порядок производной - в третьем. Применим diff для вычисления первой и второй производных функции :

>> P=diff('atan(x)',x,1);

>> pretty(P)

------

1 + x

>> P=diff('atan(x)',x,2);

>> pretty(P)

x

-2 ---------

2 2

(1 + x)

Символическое интегрирование является значительно более сложной задачей, чем дифференцирование. ToolBox Symbolic Math позволяет работать как с неопределенными интегралами, так и с определенными. Неопределенные интегралы от символических функций вычисляются при помощи функции int. В качестве входных аргументов указываются символическая функция и переменная, по которой производится интегрирование, например, пусть необходимо вычислить неопределенный интеграл , тогда получим:

>> syms x

>> f=sym('exp(2*x)');

>> I=int(f,x)

>> pretty(I)

1/2 exp(2 x)

Разумеется, что функция Int не позволяет получить неопределенный интеграл от произвольной функции.

Для нахождения определенного интеграла в символическом виде следует задать нижний и верхний пределы интегрирования, соответственно, в третьем и четвертом аргументах int:

>> syms x a b

>> f=sym('exp(2*x)');

>> I=int(f,x,a,b);

>> pretty(I)

1/2 exp(2 b) - 1/2 exp(2 a)

Двойные интегралы вычисляются двукратным применением функции int. Пусть, например, необходимо вычислить интеграл , тогда для его определения необходимо задать символические переменные a, b, c, d, x, y, подынтегральную функцию f от x и y и проинтегрировать сначала по одной переменной, а затем по другой.

>> syms a b c d x y

>> f=sym('y*sin(x)');

>> Ix=int(f,x,a,b)

Ix =

-y*cos(b)+y*cos(a)

>> Iy=int(Ix,y,c,d)

Iy =

1/2*(-cos(b)+cos(a))*(d^2-c^2)

>> pretty(Iy)

2 2

1/2 (-cos(b) + cos(a)) (d - c)

>>

Аналогичным образом вычисляются любые кратные интегралы в символическом виде.

Дата добавления: 2015-07-20