Функция D(θ) определяется следующим образом

Метод не накладывает ограничений на АЧХ в переходной полосе.

Функция A(θ) определяет АЧХ реального фильтра, т.к. АЧХ

Можно предположить, что при минимальном отличии функции A(θ) от функции D(θ), отличие АЧХ от D(θ) будет также минимальным.

Сформируем целевую функцию

Функция g(q) под знаком интеграла представляет собой весовую функцию, регулирующую точность аппроксимации. В интервале изменения q, где эта функция больше, точность аппроксимации выше. Пусть, например,

Тогда, если , пульсации АЧХ в полосе пропускания будут меньше пульсаций в полосе задерживания. При g>1, наоборот, уменьшаются пульсации в полосе задерживания.

Условием минимума y является равенство нулю производных

Частная производная по коэффициенту С_m равна

где m = 0, 1,.. K.

Подставляя в последнее соотношение g(θ) и D(θ) и приравнивая производную нулю, получим

Поменяв местами операции суммирования и интегрирования, выполнив интегрирование и полагая m=0,1,2,…K, получим систему из K+1 уравнения с K+1 неизвестным коэффициентом C_k.

Решение этой системы завершает синтез фильтра.

2.11. Метод наилучшей равномерной (чебышевской) аппроксимации

Все методы, рассмотренные выше, позволяют синтезировать фильтры с линейной ФЧХ и АЧХ с допустимыми пульсациями, причем уровень пульсаций зависит от частоты. Уровень пульсаций в полосе задерживания уменьшается по мере удаления от переходной полосы, однако при синтезе приходится ориентироваться на их максимальный уровень, который должен быть меньше допустимого.

Поэтому возникает вопрос, нельзя ли уменьшить максимальный уровень за счет выравнивания пульсаций в пределах заданной полосы. Ответом на этот вопрос является метод наилучшей равномерной аппроксимации.

Требуемая АЧХ D(θ) и функция A(θ) при чебышевской

аппроксимации

На рисунке приведены требуемая АЧХ полосового фильтра D(θ), заданная в полосе пропускания и в полосе задерживания и аппроксимирующая функция A(θ) с равновеликими пульсациями.

Точками обозначены экстремумы этой функции.

Дата добавления: 2015-07-20