Шпаргалка для ученика

На тему "Диофантовые уравнения "

7 класс

Введение

Здравствуй ученик! Мы рады что заинтересовали тебя диофантовыми уравнениями. В этой небольшой книжечке мы познакомим тебя с неопределёнными или диофантовыми уравнениями. Мы расскажем тебе их историю и научим решать их.

Условные обозначения

-Определение

Отрывок из истории создателя

Создатель диофантовых уравнений Диофа́нт Александри́йский — древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н. э. Диофант был первым греческим математиком, который рассматривал дроби наравне с другими числами. В наше время под «диофантовыми уравнениями» обычно понимают уравнения с целыми коэффициентами, решения которых требуется найти среди целых чисел. Диофант также одним из первых развивал математические обозначения.

Диофантовые уравнения

Диофантовые уравнения - это уравнение с несколькими неизвестными, решение которого ищется в целых числах.

В 7 классе мы умеем решать только диофантовое уравнение с двумя неизвестными

Диофантовое уравнение c двумя неизвестными имеет вид

ax+by=c

где a, b, c — целые числа, x и y — неизвестные целые числа.

Например:

6x+40y=200

Метод решения Диофантовых уравнений

с двумя неизвестными

Существует метод решения Диофантовых уравнений

с двумя неизвестными.

Рассмотрим данный метод решения на примере уравнения 5х+8у=39

1. 5x+8y=39; х и y -целые числа

2. Выразим х

х=(39-8y)/5 =7-1y+(4-3y)/5

3. Что бы у был целым нужно чтобы (4-3y)/5 - было целое

4. 4-3y=5z z -некоторое число

5. Выразим y:

y=(4-5z)/3=1-z+(1-2z)/3

6. Что бы y было целое нужно чтобы (1-2z)/3 - было целое

7. 1-2z=3r r -некоторое число

8. Выразим z

z=(1-3r)/2=-r+(1-r)\2

9. 1-r - четное

10. 1-r=2n

r=2n+1

11. Подставляем вместо r выражение 2n+1

12. z=-2n+1+(1-2n+1)\2=-2n-1-n=-3n-1

13. Теперь подставим выражение -3n-1 в y=1-z+(1-2z)/3 вместо z

14. y=1+3n-1+(1+6n+z)/3=2+3n+1+2n=3+5n

15. Подставим выражение 3+5n в х=7-1y+(4-3y)/5 вместо y

16. х=7-3+5n+(4-9-15n)/5=4-5n-1+3n=3-8n

17. x=3-8n

y= 3+5n

n - любое целое число

Допустим n=0, тогда x=3, y=3

Задачи на отработку навыка решения

диофантовых уравнений

№1

Решите уравнение в целых числах

3x+8y=11

№2

Решите задачу с помощью диофантового уравнения

У Сони было 260 рублей. На эти 260рублей Соня решила купить несколько красных и синих роз. Красная роза стоит 40 рублей, синяя роза стоит 70 рублей. Сколько красных и синих роз Соня сможет купить на 260 рублей?

№3

Решите задачу с помощью диофантового уравнения

У Пети было 100 рублей. На эти деньги он решил купить несколько карамелек и шоколадных конфет. Шоколадная конфета стоит 18 рублей, а карамелька 8 рублей. Сколько карамелек и шоколадных конфет сможет купить Петя?

Дата добавления: 2015-07-20