Теорема о разбиение отношения на два подотношения без потерь.

Определение. Отношение r со схемой R разбивается без потерь на два подотношения r₁ и r₂ со схемами R1 и R2 соответственно, R=R₁ U R₂, если выполняется формула

Иначе говоря, можно спроектировать r на две подсхемы, получив таблицы r₁ и r₂, которые потом можно соединить с помощью оператора соединения © (=JOIN=внутреннее соединее SQL). Разбиение без потерь необходимо, чтобы не было потерь информации при разбиении схемы на подсхемы при приведении ко 2-й и 3-й нормальным формам.

Теорема. Пусть в отношении r со схемой R выполняется функциональная зависимость XàY. Тогда, R можно разбить без потерь на подсхемы и .

Доказательство. Обозначим через и соответствующие проекции.

1. Докажем сначала, что . Пусть кортеж t содержится в r, тогда его проекции и принадлежат и соответственно. Соединение и принадлежит .

2. Пусть теперь кортеж t принадлежит Каждый кортеж t в является соединение двух кортежей из и , т.е. . В свою очередь t₁ является проекцией кортежа t’, принадлежащего , а t₂ является проекцией кортежа t’’, принадлежащего .

Эти кортежи совпадают на множестве X (почему?), и в силу ФЗ XàY совпадают на Y. Значит, исходный кортеж t также совпадает с t₁ и t₂ на X и Y, но на оставшейся части кортеж t совпадет либо с t₁, либо с t₂, а значит, он полностью совпадет с одним из них. Теорема доказана.

Дата добавления: 2015-07-20