Вычисление объемов тел вращения

Приложения определенного интеграла.

Приближенное вычисление определенного интеграла

Справочный материал

I. Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур

, где f(x)≥0 и непрерывна на[ a;b ] (1) (2)

Частные случаи:

, где f(x)<0 (3) (4)

(при вычислении S ₁, S ₂, S ₃, используют формулы 1-4)

2. Вычисление длины дуги АВ кривой, заданной

а) уравнением:

б) параметрически: где .

в) в полярных координатах:

Вычисление объемов тел вращения

Тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой y=f(x)≥0 и прямыми x=a, x=b (a<b), y=0 вокруг оси Ox. Тогда объем тела равен

(5)

Тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой x=g(y)≥0 и прямыми y=a, y=b (a<b), x=0. Тогда объем тела равен

(6)

II. Приближенные методы вычисления определенного интеграла

Схема приближенного вычисления определенного интеграла:

1. Отрезок интегрирования [ a;b ] точками x₀,x₁,…,x_n делим на n равных частей длины .

2. Вычисляем значения подынтегральной функции в точках деления: y₀=f(a), y₁=f(x₁), …,y_n=f(b).

3. Используем одну из приближенных формул.

Формула прямоугольников

(7)

(7')

Абсолютная погрешность формулы: , где – наибольшее значение на

, где , (7")

Формула трапеций

(8)

Формула Симпсона (n – четное)

(9)

Задачи

1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями. Сделать чертеж

а) , x=-2, x=3 б) ,

в) y=2 г) y=ln x, y=0, y=1, x=0.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) и ее асимптотой.

ж) , , з) , и) ,

3. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением между указанными точками

а) , , ; б) , ;

в) , ; г) , , ;

е) (астроида); д) (кардиоида).

4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox фигуры, ограниченной линиями

а) y²=4x, y=0, x=4; б) y=x³, x=1, x=-2, y=0; в) y=2x-x², y=-x+2;

г) , ; д) xy =6, x =1, y =0

5. Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси ординат плоской фигуры, ограниченной линиями: а) y=x², y=x; б) , ; г) xy =6, x =1, y =0.

6. Вычислить точно по формуле Ньютона-Лейбница и приближенно, используя методы прямоугольников, трапеций, Симпсона. Отрезок интегрирования разбить на 4 части. Найти абсолютную и относительную погрешность вычислений.

7. Вычислить приближенно по формуле трапеций при n=5 и точно по формуле Ньютона-Лейбница. Сравнить результат, используя относительную погрешность вычислений.

Дата добавления: 2015-07-20