Примеры решения задач

2.1. Контактная разность потенциалов

Имеется сплавной германиевый p-n-переход с концентрацией
N_Д = 10³∙N_a, причем на каждые 108 атомов германия приходится один атом акцепторной примеси. Определить контактную разность потенциалов при температуре Т = 300 К (концентрации атомов N и ионизованных атомов n_i принять равными n_i = 4,4∙10²² и 2,5∙10¹³ см^–3 соответственно).

Решение.

Определим концентрацию акцепторных атомов

N_a = N/10⁸ = 4,4∙10²²/10⁸ = 4,4∙10¹⁴ см^–3.

(N = 4,4 10²² см^–3 – концентрация атомов германия). Концентрация атомов доноров N_Д = 4,4 10¹⁷ см^–3.

Контактная разность потенциалов

φ_к = kT/ е ln(N_aN_Д)/n_i² = 0,0258 ln [(4,4∙10¹⁷∙4,4∙10¹⁴)/(2,5∙10¹³)²] = 0,33 B.

2.2. Прямое напряжение на р-n-переходах

Германиевый сплавной p-n-переход имеет обратный ток насыщения
I ₀ = 1 мкА, а кремниевый с такими же размерами ток I ₀ = 10^–8 А.
Вычислить и сравнить прямые напряжения на переходах при Т = 293 К,
если через каждый диод протекает прямой ток 100 мА.

Решение.

Ток диода определим по формуле

– 2

φ_t

I = I ₀ (е^eU/(kT) – 1) = I ₀ (е^U/ – 1),(2)

где I ₀ – обратный ток насыщения.

Для германиевого р-n-перехода

– 23

– 19

100∙10^–3 = 10^–6 (e^{1,602 10 U/(1,38 10 293)} –1), откуда U = 288 мВ.

Аналогично, для кремниевого p-n-перехода при I ₀ = 10^–8 А U = 407 мВ.

2.3. Сопротивления диода

Германиевый диод, имеющий обратный ток насыщения
I ₀ = 25 мкА, работает при прямом напряжении, равном 0,1 В и Т = 300 К. Определить сопротивление диода постоянному току R ₀ и дифференциальное сопротивление г_диф.

Решение.

Найдем ток диода при прямом напряжении U = 0,l В по формуле (2)
I = 1,17 мА.

Тогда сопротивление диода постоянному току

R ₀ = U/I = 0,1/(1,17 10–3) = 85 Ом.

Вычислим дифференциальное сопротивление, используя формулу

1/г_диф = d I /d U = I ₀(e/kT)е^eU/kT = 25∙10^–6 38,6 48 = 46∙10^–3 См, откуда

г_диф = 1/(46∙10^–3) = 21,6 Ом.

Приближенно с учетом того, что I >> I ₀,

1/г_диф = dI/dU = (e /kT)(I + I₀) ≈ I (e /kT).

Откуда г_диф ≈ kT/ eI = φ_т/ I = (1,38∙10^–23 300)/1,602∙10^–19 ∙1,17∙10^–3) = 22 Ом.

2.4. Напряжения на p-n-переходе

В идеальном р-n-переходе обратный ток насыщения I ₀ = 10^–14 А при
Т= 300 К и I ₀ = 10^–9 А при Т = 125 °С.

Определить напряжения на p-n-переходе в обоих случаях, если прямой ток равен 1 мА.

Решение.

Из уравнения ВАХ перехода (2) имеем I/I ₀ = е^eU/(kT).

Логарифмируя и решая это уравнение относительно U получаем

U = φ_т ln(I/I ₀ + 1).

При Т = 300 К U = 0,026 ln(10^–3/10^–14 + 1) = 0,026∙25,3 = 0,66 В.

При T = 125°С U = 0,036 ln(10^–3/10^–9 + 1) = 0,5 B.

Такая температурная зависимость характерна для кремниевых диодов.

2.5. Влияние температуры на ток р-n-переход

Определить, во сколько раз увеличивается обратный ток насыщения
р-n-перехода, если температура увеличивается: а) от 20 до 80°С для германиевого диода; б) от 20 до 150°С для кремниевого диода.

Решение.

Зависимость обратного тока насыщения от температуры:

I ₀ = k·T^m e^Ugo/(φT),

где k - постоянная; Е _go = e∙ U _go – ширина запрещенной зоны при T = 0 К;
(φ_т = kT/e – температурный потенциал).

Известно, что для германия m = 1, η = 2, U _go = 0,785 В; для кремния

m = 2, η = l,5, U _go = 1,21 В.

Следовательно, для германия обратный ток насыщения

I ₀ = kT² e^{–0,785/(φт)} . При Т = 80⁰С, или Т = 353 К, имеем

φ_т = 353/11600 = 0,0304 В.

Таким образом

I _{0(Т = 80}^о_С) = k(353)² e ^{–0,785/0,0304}. При T = 20°С, или T = 293 К,

φ_т = 293/11600 = 0,0253 В.

Тогда I _{0(Т =20}^о_С) = k(293)² e ^{–0,785/0,0253}.

Следовательно,

(I _{0(Т =20}^о_С) )/(I _{0(Т =20}^о_С) ) = (k(353)² e ^{–0,785/0,0304})/(k(293)² e ^{–0,785/0,0253}) = 263.

Для кремниевого диода I ₀ = k·T^1,5 e^{–1,21/(2φT)}.

При Т = 150°С, или Т = 423 К, температурный потенциал
φ_т = 423/11600 = 0,0364 В;

Тогда I _{0(Т = 150}^о_С) = k(423)^1,5 e ^{–1,21/2 0,0364}.

Tак как при температуре Т = 20 °С, или Т = 293 К, φ_т = 0,025 В, то

I _{0(Т =20}^о_С) = k(293)^1,5 e ^{–1,21/(2 0,0253)}.

Отношение токов (I _{0(Т = 150}^о_С) )/(I _{0(Т =20}^о_С) ) = 2568.

2.6. Емкость p-n- перехода

Барьерная емкость диода равна 200 пФ при обратном напряжении

2 В. Какое обратное напряжение следует приложить, чтобы емкость уменьшилась до 50 пФ, если контактная разность потенциалов φ_к = 0,82 В.

Решение.

Барьерная емкость резкого p-n-перехода определяется по формуле

С _б = [(ε e N_a N_д)/(2 (N_a + N_д))]^1/2 / U ^1/2,

где U – обратное напряжение на p-n-переходе;

N_a и N_д – концентрация примесей на каждой из сторон р-n-перехода.

Следовательно, для данного диода

C _б = k(U _обр + φ_к)^1/2

где k – некоторая постоянная; φ_к – контактная разность потенциалов.

При U _обр = 2 В величина С _б = 200 пФ,

тогда k = 200∙10^–12 (2 + 0,82)^1/2 = 3,35∙10^–10∙пФ В^1/2.

Находим обратное напряжение, при котором С _б = 50 пФ:

50∙10^–12 = (3,35 10^–10)/(U _ОБР + 0,82)^1/2, откуда U _ОБР = 44,1 В.

2.7. Определение параметров цепи

Обратный ток насыщения диода с барьером Шоттки равен 2 мкА. Диод соединен последовательно с резистором и источником постоянного напряжения Е = 0,2 В так, что на диод подается прямое напряжение рисунок 7. а). Определить сопротивление резистора, если падение напряжения на нем равно 0,1 В. Диод работает при Т = 300 К.

Решение.

Определим ток диода по соотношению (2).

Так как падение напряжения на резисторе равно 0,1 В, то напряжение на диоде U = E – U _R = 0,2 – 0,1 =0,1 В. Отсюда ток диода I _Д = 93 мкА.

Следовательно, R = U/I =0,1/(9,3∙10^–6) = 1,1 кОм.

2.8. Определение тока диода

Определить ток диода I _Д с идеализированной ВАХ, текущий в цепи, показанной на рисунке 6. а), если Е = 5 В, R = 1 кОм, обратный ток насыщения I ₀ = 10^–12 А, температура Т = 300 К.

Решение.

Задачу решим графоаналитическим способом. Используя значение
I ₀ = 10^–12 А и задаваясь напряжением диода, построим вначале ВАХ диода в соответствии с уравнением (2).

Вольт–амперная характеристика показана на рисунке 6. б). На том же графике построим нагрузочную прямую, используя уравнение

Е = U _Д + I∙R.

Рис. 6. Построение нагрузочной прямой

Построение производится по двум точкам. Принимаем I = 0, при этом U _Д = U _ПР = Е.
Принимаем U _Д = 0. При этом I = I _ПР = Е/R. На оси тока отмечаем точку со значением I = 5В/1К = 5 мА. Полученные точки соединяем прямой линией, которая и является нагрузочной прямой для диода.

Точка пересечения нагрузочной прямой с ВАХ диода дает решение задачи. Из построения следует, что I _Д = 4,5 мА.

2.9. Определение напряжения на диоде

Идеализированный диод на основе кремния включен в схему, изображенную на рисунке 7. Определить напряжение на диоде U _Д.

Решение.

На диод подано обратное напряжение, поэтому можно предположить, что обратное сопротивление диода составляет несколько сотен килоом или больше, т.е. R _обр >> 1К. Следовательно, можно считать, что практически все напряжение приложено к диоду и U _Д ≈ 15 В.

Определить напряжение на диоде в схеме рисунок 8, если при комнатной температуре используется кремниевый диод, имеющий обратный ток насыщения I ₀ = 10 мкА.

Решение.

Так как на диод подано прямое напряжение, то сопротивление диода будет малым и ток в схеме будет определяться в основном сопротивлением резистора R = 20 кОм.

Следовательно, I ₀ = 40/(20∙10³) = 2 мА. Подставив это значение в уравнение тока диода и решив его относительно напряжения U, получим:

I = I ₀ (е^eU/(kT) – 1),

2∙10^–3 = 10∙10^–6(е^eU/(kT) – 1),

е^x = 201; x = e U /(kT) = 5,30; kT/e = 26 мВ.

Следовательно, U _Д = 5,30∙26 мВ = 0,138 ≈ 0,14 В.

2.10. Преобразование формы сигнала

Дана цепь, изображенная на рис. 9. На вход подается напряжение

U ₁ = U _msinωt. Амплитудное значение напряжения составляет 70 В,

R = 1 кОм. Определить значение и форму выходного напряжения U ₂.

Диод принять идеальным для сигнала большой амплитуды,
R _ПР = 0, R _ОБР = ∞.

Его вольт-амперная характеристика изображена на рисунке 10. в).

Решение.

При положительной полуволне подводимого синусоидального напряжения на диод подается прямое напряжение, при отрицательной – обратное. Представляя диод идеальным, изобразим эквивалентные схемы цепи для положительной (рисунок 10. а) и отрицательной (рисунок 10. б) полуволн подводимого напряжения.

При положительном входном напряжении U ₁ выходное напряжение
U ₂ = U ₁, при отрицательном напряжении на аноде диода его сопротивление очень большое R _ОБР = ∞ и R _ОБР >> R, ток не течет, поэтому напряжение на

резисторе равно нулю.

В действительности выходное напряжение должно быть несколько меньше (69 или 69,5 В), так как имеется падение напряжения на диоде. Поскольку это напряжение мало по сравнению с входным напряжением, им можно пренебречь.

Однако его следует учитывать при малых подводимых напряжениях. Если, например, U ₁ = + 2 В, то, согласно схеме, выходное напряжение тоже должно быть равно 2 В. В действительности выходное напряжение с учетом

падения напряжения на диоде будет равно примерно 1,3 В для кремниевого диода.

2.11. Модель диода для большого сигнала

Кремниевый диод представлен моделью для большого сигнала

рисунок 11. а) и имеет ВАХ, изображенную на рисунке 11. б). Определить ток в цепи, представленной на рисунке 11. в) при R = 1 кОм, U ₁ = 5В.

Сравнить результат с ответом, полученным в задаче 2.9.

Решение.

По второму закону Кирхгофа для контура на рисунке 11. в)

–5 + 1000∙ I _Д + 0,7 + U _Д = 0.

Из этого выражения следует, что на идеальном диоде и на резисторе должно падать напряжение 4,3 В. Для указанной полярности напряжения

диод включен в прямом направлении и напряжение на нем отсутствует
(U _Д = 0). Следовательно, напряжение 4,3 В падает только на резисторе. По закону Ома ток диода I _Д = 4,3/10³ А = 4,3 мА. Напряжение U ₂ = 0,7 В.

Диоды используются не только в качестве преобразователей переменного напряжения, но и в качестве ограничителей и фиксаторов уровня напряжения.

Ограничители это устройства (схемы), предназначенные для ограничения амплитуды напряжения на определенном, заданном уровне.

Фиксаторы предназначены для фиксации амплитуды напряжения на определенно, заданном уровне.

В основе их работы лежит резкое изменение сопротивления диода
(а значит и коэффициента передачи схемы) в открытом и закрытом состояниях.

Схема рисунка 10 является ограничителем с нулевым уровнем ограничения (для большого сигнала).

Для схемы 10. а) для положительной полуволны

U ₂ = U _m R /(R + R _ПР) ≈ U _m,

где U _m – максимальное амплитудное значение входного напряжения U ₁,

R _ПР – сопротивление диода при прямом включении.

Принимая во внимание, что, как правило, R _ПР << R, то U ₂ ≈ U ₁.

Для отрицательной полуволны диод закрывается, его сопротивление становится очень большим рисунок 10. б) и напряжение на выходе составит

U ₂ = U _m R/ (R + R _ОБР) ≈ 0,

где R _ОБР – сопротивление закрытого диода.

Для схемы рисунка 10 при положительной полуволне входного

напряжения U ₁ диод открыт, его сопротивление мало и напряжение на выходе

U ₂ = U ₁ R _ПР /(R _ПР + R).

Как правило, R >> R _ПР и U ₂ ≈ 0. (Если быть точным, то U ₂ примерно равно падению напряжения на открытом диоде, задача 2.9).

При отрицательной полуволне U ₁ диод закрыт и напряжение на выходе

U ₂ = U ₁ R _обр /(R _обр + R),

где R _ОБР – сопротивление диода в закрытом состоянии.

Обычно R _обр >> R и U ₂ ≈ U ₁.

В качестве ограничителей и фиксаторов часто используются стабилитроны. Их вольт-амперные характеристики близки к идеальным. Участок характеристики от напряжения U _СТ до напряжения U _ПР рисунок 4 имеет сопротивление, близкое к бесконечности. Сопротивления стабилитрона в режиме стабилизации и прямой ветви составляют единицы Ом.

2.12. Применение стабилитрона

2.12.1 На вход схемы рис. 9 подается напряжение U ₁ = 3∙sin ωt, вместо диода включен стабилитрон КС133А с напряжением стабилизации
U _СТ = 3,3 В. Диод на основе кремния, поэтому считаем, что U _ПР = 0,7 В.

Изобразить в масштабе напряжение на выходе, определить амплитудные значения выходного напряжения.

Решение.

Амплитудное значение входного напряжения U _m = 3 √2 = 4,24 В. Пока напряжение положительной полуволны U ₁ < 0,7 В, стабилитрон закрыт и напряжение на выходе равно нулю. При достижении U ₁ > 0,7 В, диод

от крывается и напряжение U ₁ перераспределяется между диодом (0,7 В) и сопротивлением R (4,17 В) рисунок 12.

Для отрицательной полуволны процесс происходит аналогично, только стабилитрон открывается при напряжении 3,3 В. Таким образом, на стабилитроне напряжение станет равным 3,3 В, а на резисторе максимальное значение напряжения составит

U _Rm = 4,24 – 3,3 = 0,94 B.

2.12.2 Для стабилизации напряжения на нагрузке рисунок 13 используется стабилитрон, напряжение стабилизации которого равно
U _СТ = 10 В. Определить допустимые пределы изменения питающего напряжения, если максимальный ток стабилитрона I _{СТ mах} = 30 мА, минимальный ток стабилитрона I _{СТ min} = 1 мА, сопротивление нагрузки R _Н = 1 кОм и сопротивление ограничительного резистора R _ОГР = 0,5 кОм.

Решение.

Напряжение источника питания

Е = U _СТ + R _ОГР(I _Н + I _СТ).

Ток нагрузки I _Н = U _СТ/ R _Н.

Таким образом, Е = U _СТ (1 + R _ОГР/ R _Н) + R _ОГР I _СТ.

Подставляя в эту формулу максимальное и минимальное значение тока через стабилитрон, получим Е _min = 10∙(1+0,5)+1 0,5 = 15,5 В,

Е _max = 10 (1 + 0,5) + 30∙ 0,5 = 30 В.

Определим коэффициент стабилизации для среднего значения напряжения источника Е.

К _СТ = (U _СТ/ Е)∙(R _ОГР/r_д).

Среднее значение Е = 22,5 В, для данного типа стабилитрона
r_д = 15 Ом (таблица 5).

К _СТ = (10/22,5)∙(500/15) = 0,44∙33,3 = 14,8.

Стабилитрон типа КС213Б включен в схему стабилизатора напряжения параллельно с резистором нагрузки R _Н = 2,2 кОм рисунок 13.
Параметры стабилитрона – напряжение стабилизации U _СТ = 13 В,
I _{ст max} = 20 мА, I _{ст min} = 1 мА.

Найти сопротивление ограничительного резистора R _ОГР, если напряжение источника Е меняется от 16 В до 24 В. Определить, будет ли обеспечена стабилизация напряжения во всем диапазоне изменения напряжения источника Е.

Решение.

Сопротивление ограничительного резистора определим по формуле

R _ОГР = (E _СР – U _СТ)/(I _{ст cp} + I _Н),

где Е _СР = 0,5 ∙(Е _min + E _mах) = 0,5 ∙(16 + 24) = 20 В. Средний ток через стабилитрон

I _СТcp = 0,5(I _{СТ max} + I _{СТ min}) = 0,5(1 + 20) = 10,5 мА.

Ток нагрузки I _Н = U _СТ / R _Н = 13/(2,2∙10^–3) = 5,9 мА.

Следовательно, сопротивление ограничительного резистора
R _ОГР = (20 – 13)/[(10,5 + 5,9) ∙10^–3] = 7/(16,4 10^–3) = 430 Ом.
Стабилизация будет обеспечена для изменения напряжения Е в пределах от

E _min = U _СТ + (I _{ст min} + I _Н)∙ R _ОГР = 13 + (10^–3 + 5,9 10^–3)∙430 = 16 В,
до Е _mах = 24,1 В.

Таким образом, стабилизация получается во всем диапазоне изменения напряжения источника питания Е.

Оценим влияние температуры на напряжение стабилизации, если температурный коэффициент напряжения стабилитрона (ТКН) составляет

9,5∙10^–2 [%/^оС], а температура изменяется на 50^оС.

Решение.

[%] = 9,5 10^–2∙50^оС = 4,74. Напряжение U _СТ = 13 В изменяется на 4,74 %, что составляет 0,62 В.

2.13. Барьерная емкость диода

2.13.1 Барьерная емкость диода с резким переходом равна 25 пФ при обратном напряжении 5 В. Определить уменьшение емкости при увеличении обратного напряжения до 7 В.

Решение.

1/2

Пренебрегая контактной разностью потенциалов, используя формулу (8), можно записать

C _б1 =k_с/ U ₁,

где k_с – постоянный размерный коэффициент;

U ₁ – обратное напряжение.

Отсюда k_с = C _б1 U ₁^1/2.

При обратном напряжении 7 В барьерная емкость

С _б2 = k_с/ U = C _б1 U / U = 25 / = 21 пФ.

Следовательно, емкость уменьшится на величину

∆ С = С _б1 – С ₆₂ = 25 – 21 = 4 пФ.

2.13.2 Найти барьерную емкость р-n-перехода, если удельное сопротивление р-области ρ_р = 3,5 Ом∙см, контактная разность потенциалов
φ_к = 0,35 В, приложенное обратное напряжение U _обp = 5 В и площадь поперечного сечения перехода S = 1 мм².

Ответ: 44,7 пФ.

Дата добавления: 2015-07-20