Математическая обработка ряда многократных независимых равноточных измерений

Пусть выполнен ряд равноточных измерений одной величины, истинное значение Х которой неизвестно. В результате измерений получены значения х_i, свободные от систематических ошибок (это означает, что ).

Под математической обработкой ряда равноточных измерений понимают:

1. Определение наиболее надёжного значения измеряемой величины (наилучшей оценки неизвестного истинного Х), которым является простая арифметическая средина

,

где x ₀ — наименьшее значение из ряда , ;

2.Определение средней квадратической ошибки отдельного результата измерений по формуле Бесселя (оценка неизвестного параметра s_x)

,

где — уклонения от арифметической средины, которые обладают свойствами:

а) ,

б)

3. Определение средней квадратической ошибки простой арифметической средины

.

4. Построение доверительного интервала, с заданной вероятностью b накрывающего неизвестное истинное значение X

.

1.Задание.

На пункте О измерены углы между направлениями ОА, ОВ, ОС во всех возможных комбинациях. Выполнить оценку углов и дать оценку точности параметрическим способом.

2.Схема.

х₄ = х₁ + х₂

х₅ = х₂ + х₃

х₆ = х₁ + х₂+ х₃

3.Исходные данные.

	Градусы (°)	Минуты (')	Секунды (")	Добавка в секунды(")
Х 1				+
Х 2
Х 3
Х 4
Х 5				-
Х 6

4.Условные обозначения параметрических и нормальных уравнений:

Х_i – истинное значение измерений;

х_i – результаты измерений;

Т_i – истинное значение необходимых неизвестных параметров;

t _i⁰ – приближенное значение параметров;

τ_i – поправки к ближайшим значениям параметров;

а_jk – коэффициенты поправок параметрических уравнений;

l_i – свободные члены параметрических уравнений;

N_jk – коэффициенты нормальных уравнений;

L_i – свободные члены нормальных уравнений;

V_i – поправки параметрических уравнений;

x_i^' – уравненные значения измеренных величин.

В процессе уравнивания принимаем ближайшие значения параметров, находим поправки к ним и вычисляем уравненные значения параметров t _i.

Зная параметры поправок находим уравненные значения измеренных величин.

5.Выбор параметров.

Выбираем: Т₁=Х₁; Т₂=Х₂; Т₃=Х₃.

6.Приближенные значения параметров.

t_i⁰ = х₁ =

t₂⁰= х₂ =

t₃⁰= х₃ =

7.Уравнения связи.

(1)

Для определения поправок V_i составляем систему параметрических уравнений в виде:

V₁=а₁₁τ₁+а₁₂τ₂+а₁₃τ₃+l₁

V₂=а₂₁τ₁+а₂₂τ₂+а₂₃τ₃+l₂

V₃=а₃₁τ₁+а₃₂τ₂+а₃₃τ₃+l₃

V₄=а₄₁τ₁+а₄₂τ₂+а₄₃τ₃+l₄ (2)

V₅=а₅₁τ₁+а₅₂τ₂+а₅₃τ₃+l₅

V₆=а₆₁τ₁+а₆₂τ₂+а₆₃τ₃+l₆

Вычисляем коэффициенты а_jk и свободные члены системы (2). Находим частные производные уравнений системы (1).

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; .

Формулы свободных членов уравнений поправок:

Таблица коэффициентов поправок и нормальных уравнений.

№ п/п	aj1	aj1	aj1	l1	S1	V1
Σ
	Nj1	Nj2	Nj3	Lj	Σj	контроль
[ u ], [ lS ]
[ SS ]

На основании системы уравнений (2) и данных таблицы записываем упрощенное уравнение поправок.

V₁ = τ₁ =

V₂ = τ₂ =

V₃ = τ₃ =

V₄ = τ₁ + τ₂ + l₄=

V₅ = τ₂ + τ₃ + l₅=

V₆ = τ₁ + τ₂ + τ₃+ l₆=

Для определения τ₁, τ₂, τ₃ составляем систему нормальных уравнений:

N₁₁τ₁ + N₁₂τ₂ + N₁₃τ₃ + L₁ = 0

N₂₁τ₁ + N₂₂τ₂ + N₂₃τ₃ + L₂ = 0 (3)

N₃₁τ₁ + N₃₂τ₂ + N₃₃τ₃ + L₃ = 0

N₁₁ = [ a₁a₁ ] = a₁₁ a₁₁ + a₁₂ a₁₂ + a₁₃ a₁₃ + a₁₄ a₁₄ + a₁₅ a₁₅ + a₁₆ a₁₆ = 3

N₁₂ = [ a₁a₂ ] = a₁₁ a₁₂ + a₂₁ a₂₂ + a₃₁ a₃₂ + a₄₁ a₄₂ + a₅₁ a₅₂ + a₆₁ a₆₂ = 2

N₁₃ = [ a₁a₃ ] = a₁₁ a₁₃ + a₂₁ a₂₃ + a₃₁ a₃₃ + a₄₁ a₄₃ + a₅₁ a₅₃ + a₆₁ a₆₃ = 1

N₂₂ = [ a₂a₂ ] = a₁₂ a₁₂ + a₂₂ a₂₂ + a₂₃ a₂₃ + a₂₄ a₂₄ + a₂₅ a₂₅ + a₂₆ a₂₆ = 4

N₂₃ = [ a₂a₃ ] = a₁₂ a₁₂ + a₂₂ a₂₃ + a₃₃ a₃₃ + a₄₂ a₄₃ + a₅₂ a₅₃ + a₆₂ a₆₃ = 2

N₃₃ = [ a₃a₃ ] = a₁₃ a₁₃ + a₂₃ a₂₃ + a₃₃ a₃₃ + a₄₃ a₄₃ + a₅₃ a₅₃ + a₆₃ a₆₃= 3

L₁ = [ a₁ l₁ ] = a₁₁ l₁ + a₂₁ l₂ + a₃₁ l₄ + a₄₁ l₄ + a₅₁ l₅ + a₆₁ l₆ =

L₂ = [ a₂ l₂ ] = a₁₂ l₁ + a₂₂ l₂ + a₃₂ l₄ + a₄₂ l₄ + a₅₂ l₅ + a₆₂ l₆ =

L₃ = [ a₃ l₃ ] = a₁₃ l₁ + a₂₃ l₂ + a₃₃ l₄ + a₄₃ l₄ + a₅₃ l₅ + a₆₃ l₆ =

После заполнения таблицы выполняем контроль подсчетов, для которого определяют 3 суммы:

Σ₁ = N₁₁ + N₁₂ + N₁₃ + L₁ =

Σ₂ = N₂₁ + N₂₂ + N₂₃ + L₂ =

Σ₃ = N₃₁ + N₃₂ + N₃₃ + L₃ =

Уравнение контроля:

[ SS ] = Σ₁ + Σ₂ + Σ₃ + [ l S ] =

[ l S ] = L₁ + L₂ + L₃ + [ l l ] =

	τ1	τ2	τ3	L	Σ	контроль
Nil	N11		N12		N13		L1		Σ1
Eli	-		-		-		-		-
N2i		N22		N23		L2		Σ2
Ni2 Ei2	N12E12		N13 E12		L1 E12		Σ1 E12
E2i
N3i		N33		L3		Σ3
E13 Ni3	E13N13		E13L1		E13 Σ1
E3i
ll, SS		[ ll ]		[ lS ]
		E 1 l L1		E 1 l Σ1
	E 1 l L1		E 1 l Σ1
	[ V^2 ] =		[ ll] ^(3)		[ lS ]^(3)
τ3				E3l				τ3 = E3l
τ2		τ2		E23τ3		E2l		τ2 = E23τ3 + E2l
τ1	τ1		E12τ2		E13τ3		E1l		τ1 = E12τ2 + E13τ3 + E1l

Контроль:

E₁₁ + E₁₂ + E₁₃ + E_1l = E₁

E₂₂ + E₂₃ + E_2l = E₂

E₃₃ + E_3l = E₃

№ угла	Измеренные значения	Vi^"	Уравненный угол	Уравнение связи	Контроль

Оценка точности вычислений СКО измеренного угла

Веса углов х₁; х₂; х₃

СКО измерения углов:

«Уравнивание результатов равноточных измерений коррелатным способом»

Условие: по данным задачи проведем уравновешивание данных и оценим точность результатов измерений.

Выберем функцию трех независимых переменных:

F= x₁ + x₂ + x₃

Составляем систему условных уравнений:

x₁ + x₂ + x₃ – х₆ =0

(1) x₁ + x₂ – x₄ = 0

х₂ + x₃ – x₅ = 0

Невязки W_i вычисляем из данных задачи:

W₁ = x₁ + x₂ + x₃ – х₆

W₂ = x₁ + x₂ – x₄ (2)

W₃ = х₂ + x₃ – x₅

Составляем условные уравнения поправок:

a₁₁V₁ + a₂₁V₂ + a₃₁V₃ + a₄₁V₄ + a₅₁V₅ + a₆₁V₆ + W₁ = 0

a₁₂V₁ + a₂₂V₂ + a₃₂V₃ + a₄₂V₄ + a₅₂V₅ + a₆₂V₆ + W₂ = 0 (3)

a₁₃V₁ + a₂₃V₂ + a₃₃V₃ + a₄₃V₄ + a₅₃V₅ + a₆₃V₆ + W₃ = 0

Численные значения W_i вычисляем из (2), коэффициенты уравнений поправок также вычисляем с помощью системы (2) нахождением частных производных:

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; .

Вводя коррелаты k₁, k₂ k₃ – множители Лагранжа – получим выражение для поправок:

(4)

Т.к. измерения равноточные, Р_i = 1, r = 3 (число независимых углов).

Для вычисления поправок V_i составляем нормальные уравнения коррелат:

(5)

Систему (5) решаем методом Гаусса, определяем k₁, k₂, k_3, а по формуле (4) – поправки V_i.

Для получения коэффициентов систем (3) и (5), составляем таблицы коэффициентов условных и нормальных уравнений.

Таблица коэффициентов условных и нормальных уравнений

№ уравнения	ai1	ai2	ai3	Si^'	fi	Σ i	Vi
		-1
			-1
	-1
Σ							Вычисление суммы
Wk							S=S^’+W
[ a1							Sa1=
[ a2							Sa2=
[ a3							Sa3=
[ S^’
[ f
[Σ

Коэффициенты f_i вычисляются по формуле:

В соответствии с таблицей записываем системы нормальных уравнений коррелат.

Уравненные значения углов.

№ углов	Измеренные значения	Поправки Vi	Уравненные значения

Оценка точности:

1) СКО измерений:

2) Ошибка ошибки:

3) СКО функции F:

4) Ошибка самой ошибки:

Дата добавления: 2015-07-26