Задачи для подготовки к контрольной работе № 2 по линейной алгебре

1.В евклидовом пространстве R⁴ (со стандартным скалярным произведением) дано подпространство .Разложить вектор в сумму ортогональной проекции на L и ортогональной составляющей.

2. Построить при помощи процесса ортогонализации ортонормированный базис линейной оболочки векторов .

1. Найти ортонормированный базис из собственных векторов линейного оператора, заданного в ортонормированном базисе матрицей , и записать матрицу этого оператора в найденном базисе.
2. Привести квадратичную форму :

(а) к нормальному виду (методом Лагранжа), определить ее ранг и индексы инерции;

(б) к главным осям посредством ортогональной замены координат.

5. Исследовать квадратичную форму на положительную и отрицательную определенность в зависимости от параметра α:

1. Привести одной заменой координат одну из данных квадратичных форм к нормальному виду, а другую – к главным осям (диагональному виду): .

7. Представить матрицу в виде произведения A = U С или A = С U, где U ортогональная, а C симметрическая матрицы (полярное разложение).

8. Найти канонический вид матрицы ортогонального оператора A, заданного в ортонормированном базисе матрицей . Выяснить геометрический смысл оператора.

9. Плоскость проходит через три точки А=(1, 1, 1, 1), В=(2, 2, 0, 0), С==(1, 2, 0, 1), а прямая—через две точки: D=(1, 1, 1, 2), E=(1, 1, 2, 1). Определить взаимное рас положение прямой и плоскости, написать уравнения и найти длину их общего перпендикуляра.

10. Выяснить геометрический смысл и найти канонический вид ортогонального

преобразования трехмерного пространства:

Дата добавления: 2015-07-26