Основные формулы

Векторно-координатный метод

Курусканов П.А.

Горно-Алтайский государственный университет, ФМФ

[e-mail]

Аннотация

Координатный метод решения задач на сегодняшний день самый мощный и при правильном подходе позволяет решить фактически все виды математический, физических, астрономических, и технический задач. Кроме того, координатный метод в рамках школьной программы используется достаточно ограниченно и неполно. В своей работе я поставил задачу показать, как решаются стереометрические задачи, если на них взглянуть «по иному», то есть рассмотреть задачу в трехмерной системе координат. Цели данной работы: рассказать об истории появления этого метода решения задач, рассмотреть основные формулы и решить несколько задач с помощью векторно-координатного метода.

История метода координат

Понятие прямоугольной системы координат на плоскости впервые появилось в геометрии еще до начала нашей эры. С ее помощью мате­матик Александрийской школы Аполлоний определял и изучал кривые второго порядка — эллипс, гиперболу и параболу.

В XVIII веке французский философ и математик Р. Декарт (и одновременно с ним П. Ферма) ввел правило выбора знаков в прямоугольной системе координат и заложил основы аналитической геометрии на плоскости — раздела математики, устанавливающего связь между алгеброй и гео­метрией.

Работы Декарта были подготовлены работами его соотече­ственника Ф. Виета, который впервые ввел в алгебру буквенные обозначения (как известных, так и неизвестных величин).

Аналити­ческая геометрия сыграла важную роль в развитии понятия числа: благодаря правилу выбора знаков координат отрицательные числа, которые не признавало большинство математиков средневековья по­лучили наглядное изображение и окончательно утвердились в мате­матике. В последующем применение прямоугольной декартовой си­стемы координат сыграло решающую роль при утверждении в мате­матике комплексных чисел.

Основные формулы

1) Расстояние от точки до плоскости: Пусть дана точка M(; ; ) и плоскость α, заданная уравнением Ax + By + Cz + D = 0 в прямоугольной декартовой системе координат. Расстояние от точки M до плоскости α можно вычислить по формуле:

где координаты вектора нормали к плоскости (то есть вектора, перпендикулярного плоскости α).

2) Угол между двумя прямыми: На каждой прямой AB и CD выбираются удобные точки, определяются координаты их направляющих векторов. Пусть

- искомый угол между двумя прямыми AB и CD.

Формула:

3) Угол между прямой и плоскостью: Пусть даны вектор , перпендикулярный к некоторой плоскости (ее нормаль) и направляющий вектор прямой . - искомый угол между прямой и плоскость

Уравнение плоскости имеет вид: , . Синус угла между прямой и вектором равен модулю косинуса угла между нормалью и направляющим вектором прямой , так как углом между двумя прямыми называется меньший из углов. Формула:

4)Угол между плоскостями

Задачу о нахождении угла между плоскостями α и β, заданными в прямоугольной декартовой системе координат уравнениями

и соответственно, удобнее свести к задаче о нахождении угла между векторами их нормалей и , используя формулу

α и β.

Задачи

Задача 1. Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна 2, высота – 4. Точка - середина отрезка , точка - середина отрезка . Найдите угол между прямыми и [1].

Решение: Поместим параллелепипед в ПСК. Выпишем координаты точек в этой системе координат: , , , .

Тогда , . Найдем угол между этими векторами по формуле:

Тогда .

Задача 2. Точка лежит на ребре куба , точка является точкой пересечения диагоналей грани . Найдите косинус угла между прямой и прямой, содержащей диагональ куба, выходящую из вершины C [2].

Решение: Поместим куб в ПСК. Обозначим грани куба за 1. Получим координаты . Отсюда , , и теперь можно найти угол по известной формуле:

Задача3. В единичном кубе найдите расстояние от точки A до прямой .

Решение: Координаты , , , . За расстояние от точки до прямой обозначим . Если отрезок, концами которого служат точки , разделен точкой в отношении λ, то координаты точки определяются по формулам.

; ;

; ; значит

перпендикулярен вектору , то =0

отсюда ;

, значит .

Дата добавления: 2015-07-26