Примеры решения задач. Пример 1.На горизонтальной поверхности находится призма 1 массы с углом наклона и на

Пример 1. На горизонтальной поверхности находится призма 1 массы с углом наклона и на ней брусок 2 массы Пренебрегая трением, найти ускорение призмы.

Р е ш е н и е. Решим задачу в системе отсчета, связанной с призмой. Так как призма движется с ускорением относительно горизонтальной плоскости, эта система отсчета является неинерциальной. Поэтому кроме сил взаимодействия необходимо учитывать поступательные силы инерции, действующие как на брусок, так и на призму. При расстановке сил

инерции (рис. 3) учтено, что эти силы направлены в сторону противоположную ускорению призмы .

На брусок со стороны призмы действует сила реакции опоры . Согласно третьему закону Ньютона, сила, с которой призма действует на брусок, равна силе , с которой брусок действует на призму, т.е. Запишем второй закон Ньютона для бруска и призмы

(10)

(11)

где – ускорение бруска относительно призмы. Для решения данной задачи достаточно спроектировать уравнение (10) на ось перпендикулярную наклонной плоскости, а уравнение (11) – на ось направленную параллельно горизонтальной плоскости (см. рис. 3)

решая эту систему уравнений и учитывая, что и , найдем ускорение призмы

Пример 2. Небольшое тело поместили на вершину гладкого полушара радиуса Затем полушару сообщили в горизонтальном направлении постоянное ускорение и тело начало скользить вниз. Найти скорость тела относительно полушара в момент отрыва.

Р е ш е н и е. Решим задачу в неинерциальной системе отсчета, связанной с полушаром. Изобразим на рис. 4 силы, действующие на тело в некоторый момент времени (до отрыва от полушара). Это две силы взаимодействия (сила тяжести и сила реакции опоры ) и поступательная сила инерции Ускорение с которым движется тело относительно полушара равно

где и – нормальное и тангенциальное ускорения. Запишем второй закон Ньютона в проекциях на оси и

(12)

(13)

Пусть за малый промежуток времени тело совершит перемещение тогда

(14)

где – скорость тела в данный момент времени. С другой стороны

(15)

где – угловое перемещение, которое оно пройдет за это время (см. рис. 4). Исключая из уравнений (13) ÷ (15) и и учитывая, что получим

Интегрируя это выражение

находим, что

(16)

где – скорость тела в момент отрыва, а – угол, характеризующий положение тела в момент отрыва. Так как в этот момент времени сила реакции опоры становиться равной нулю, уравнение (12) перепишем в виде

(17)

Решая совместно уравнения (16) и (17), найдем скорость тела относительно полушара в момент отрыва

Пример 3. Человек массы кг идет равномерно по периферии горизонтальной круглой платформы радиуса м, которую вращают с угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Найти горизонтальную составляющую силы, действующей на человека со стороны платформы, если результирующая сил инерции, приложенных к нему в системе отсчета “платформа”, равна нулю.

Р е ш е н и е. Так как по условию задачи платформа вращается с постоянной угловой скоростью , и человек относительно платформы движется с постоянной скоростью, скорость человека относительно системы координат, связанной с землей, будет также постоянна. Поэтому сила, действующая на человека со стороны платформы, будет направлена к оси вращения и равна

(18)

где – скорость человека относительно земли. Скорость будет складываться из скорости человека относительно платформы и скорости точек, лежащих на периферии диска

(19)

Величина скорости равна

(20)

и направлена так как показано на рис. 5.

Величину и направление скорости найдем, используя условие, что в системе отсчета “платформа” результирующая сил инерции равна нулю.Используя (8) и (9), найдем величину скорости

(21)

Так как сила Кориолиса направлена к центру окружности, то, как следует из (8), направление скорости будет таким, как показано на рис. 5. Решая совместно (18) ÷ (21), найдем силу действующую на человека со стороны платформы

Н.

Пример 4. Горизонтальный диск вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. По одному из диаметров диска движется небольшое тело массы кг с постоянной относительно диска скоростью Найти силу , с которой диск действует на это тело в момент, когда оно находится на расстоянии от оси вращения.

Р е ш е н и е. На рисунке 6 изображены тело с диском в проекции сбоку а) и сверху б). Решим задачу в неинерциальной системе отсчета, связанную с диском. В этой системе на тело кроме сил взаимодействия – силы тяжести силы реакции опоры и силы трения , действуют силы инерции – Кориолиса и центробежная (рис. 6 а) и б)). Так тело относительно диска движется равномерно,

(22)

Хотя в условии задачи ничего не говорится о наличии силы трения между телом и диском, ее необходимо учитывать, так как в противном случае тело под действием сил инерции (см. рис. 6) двигалось бы ускоренно относительно диска.

Запишем уравнение (22) в проекциях на оси и

(23)

где а (см. (8) и (9)).

Так как на тело со стороны диска действуют три взаимно перпендикулярные силы и , результирующая сила будет равна

(24)

Решая совместно систему уравнений (23) и уравнение (24), получаем

Н.

Пример 5. На экваторе с высоты м на поверхность Земли падает тело (без начальной скорости относительно Земли). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти на какое расстояние и в какую сторону отклонится от вертикали тело при падении.

Р е ш е н и е. В неинерциальной системе отсчета, связанной с Землей, на тело действуют три силы – сила гравитационного взаимодействия центробежная сила инерции и сила Кориолиса (рис. 7).

В связи с тем, что угловая скорость вращения Земли вокруг собственной оси мала () величина центробежной силы инерции гораздо меньше силы гравитационного взаимодействия. Так как по условию задачи радиус Земли много больше высоты , с которой падает тело можно считать, что

где – ускорение свободного падения около поверхности Земли. Учитывая вышесказанное, находим время движения тела до поверхности Земли

Под действием силы Кориолиса тело будет отклоняться к востоку (см. рис. 7 и формулу (8)) с ускорением, зависящем от времени по закону

где – скорость тела относительно Земли. Зная время , учитывая условия задачи, и то что , а находим отклонение тела от вертикали

см.

Дата добавления: 2015-07-26