Знакоположительные ряды

Ряд называется знакоположительным, если .

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

Теорема 2. (признак сравнения в непредельной форме).

Даны 2 ряда (а) и (b). Если, начиная с некоторого n, выполняется условие и ряд (b) сходится, то сходится и ряд (а). Если же ряд (а) расходится, то ряд (b) тоже расходится.

Теорема 3. (признак сравнения в предельной форме).

Даны 2 ряда (a) и (b). Если существует конечный и не равный нулю предел: , то ряды (а) и (b) сходятся или расходятся одновременно.

В качестве рядов для сравнения удобно выбирать:

1) гармонический ряд , который расходится;

2) обобщенный гармонический ряд (ряд Дирихле), который сходится при p >1 и расходится при p £1;

3) геометрическую прогрессию , которая сходится, если и расходится, если .

Признак сравнения в предельной форме особенно эффективен для рядов, общий член которых есть алгебраическая функция целого аргумента, либо функция, в пределе приводимая к вышеуказанной (использование таблицы эквивалентных бесконечно малых), т.к. позволяет свести исследование сходимости исходного ряда к рассмотрению одного из трех “эталонных” рядов.

Пример 8. Исследовать на сходимость ряд

Т.к. , а гармонический ряд расходится, то расходится и ряд .

Пример 9. Исследовать на сходимость ряд

Т.к. , а ряд сходится (как убывающая геометрическая прогрессия), то ряд тоже сходится.

Пример 10. Исследовать сходимость ряда .

Ñ Ряд знакоположительный, применим к нему признак сравнения в предельной форме, сравнив его с рядом , который сходится как обобщенный гармонический ряд с .

. Предел отношения общих членов этих рядов при конечный, не равный нулю, следовательно, ряды ведут себя одинаково; данный ряд сходится. Ряд для сравнения подбираем следующим образом: при ; #

Пример 11. Исследовать сходимость ряда .

Ñ Ряд знакоположительный. Т.к. при аргумент , то , поэтому для сравнения берем ряд . Последний ряд является гармоническим, все члены которого умножены на , что не влияет на его расходимость. Т.к. и ряд расходится, то также расходится. #

Пример 12. Исследовать на сходимость ряд .

Ñ Ряд дан знакоположительный. Т.к. , т.е. он может быть равен 1 или–1, то . Из последнего неравенства видно, что исходный ряд можно сравнить с рядом , а этот ряд сходится (обобщенный гармонический с p =2>1, все члены которого умножены на 4). Но т.к. ряд с большими членами сходится, то на основании признака сравнения в непредельной форме будет сходиться и исходный ряд. #

Теорема 4. (признак Даламбера).

Дан ряд (u_n > 0). Если существует , то при l <1 ряд сходится, при l >1 ряд расходится; при l =1 вопрос о сходимости ряда остается открытым.

Пример 13. Определить сходимость ряда .

Вывод: ряд сходится.

Пример 14. Определить сходимость ряда

Вывод: ряд сходится.

Пример 15. Применим признак Даламбера к исследованию сходимости ряда .

, следовательно, ряд сходится

(учитываем, что (п + 1)! = п!(п + 1)).

Признак эффективен в случае наличия в общем члене ряда показательной функции или факториалов.

Пример 16. Исследовать сходимость ряда

c помощью признака Даламбера.

Ñ Здесь .

Тогда

. Ряд сходится, т.к. q <1. #

Пример 17. Исследовать сходимость ряда .

Ñ , = . Т.к. l >1, ряд расходится. #

Теорема 5 (признак Коши, радикальный).

Дан ряд (u_n > 0). Если существует , то при l <1 ряд сходится; при l >1 ряд расходится; при l =1 вопрос о сходимости ряд остается открытым.

Радикальный признак Коши дает результат в случае, когда общий член ряда имеет вид степенно-показательной функции целочисленного аргумента.

Пример 18. Определить сходимость ряда .

Вывод: ряд сходится.

Пример 19. Определить сходимость ряда .

Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости ряда. Проверим выполнение необходимых условий сходимости. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю.

,

таким образом, необходимое условие сходимости не выполняется, значит, ряд расходится.

Пример 20. Для ряда - ряд сходится.

Пример 21. Исследовать сходимость ряда .

Ñ Ряд знакоположительный, применим к нему признак Коши; найдем

.По теореме 5 ряд сходится. #

Теорема 6 (интегральный признак Коши).

Если функция f неотрицательна и убывает на полупрямой х ≥ 1, то ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом .

Следствие. Если функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям

1) ; 2) непрерывна, положительна и монотонно убывает при , то ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.

Интегральный признак Коши удобно применять в тех случаях, когда функция f (x), полученная заменой в общем члене ряда целочисленной переменной n на непрерывную переменную x, обладает легко находимой первообразной.

Пример 22. Применим интегральный признак Коши к исследованию сходимости рядов вида , сравнивая их с интегралами Рассмотрим следующие возможные значения α:

а) α > 1. Тогда (так как при α>1 ). Следовательно, несобственный интеграл сходится, а значит, сходится и рассматриваемый ряд.

б) α = 1. При этом - интеграл расходится, поэтому расходится и ряд.

в) α < 1. Тогда (так как при α < 1

). Из расходимости несобственного интеграла следует расходимость исследуемого ряда.

Замечание. Итак, ряд вида сходится при α > 1 и расходится при α ≤ 1. Это свойство ряда будет часто использоваться в дальнейшем.

Пример 23. Исследовать сходимость ряда .

Ñ Рассмотрим функцию . При натуральных значениях аргумента значения функции совпадают с соответствующими членами ряда: . Кроме того, f (x) при будет непрерывной, положительной и монотонно убывающей (функция , стоящая в знаменателе, растет быстрее, чем ln(x +1), стоящая в числителе). Показать, что f (x) будет монотонно убывающей, можно и с помощью :

для , следовательно, f (x) - убывающая на [1,+¥).

Рассмотрим несобственный интеграл , который берется по частям:

.

Найдем отдельно .

Здесь для нахождения предела применили правило Лопиталя. Далее: . Итак, = . Интеграл сходится, следовательно, сходится и данный ряд. #

Знакочередующиеся ряды.

Знакочередующийся ряд можно записать в виде:

где ().

Теорема 7 (признак Лейбница).

Если члены знакочередующегося ряда не возрастают по абсолютной величине с ростом n, т.е., начиная с некоторого n, верно неравенство и , то ряд сходится, причем, если его сумма равна s, то .

Пример 24. Исследовать сходимость ряда .

Ñ Ряд знакочередующийся. Применим признак Лейбница (теорема 7). ,

. Очевидно, что . Кроме того, . Выполнены оба условия признака Лейбница, следовательно, ряд сходится. #

Пример 25. Исследовать сходимость ряда .

Ñ Дан знакочередующийся ряд. Члены этого ряда по абсолютной величине монотонно убывают. В самом деле, , т.к. . Однако, . Значит, ряд расходится по необходимому признаку (теорема 1, следствие), по признаку Лейбница расходимость не установить. #

ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

Ряд называется знакопеременным, если членами его являются любые действительные числа: .

Теорема 8 (признак абсолютной сходимости).

Дан ряд . Если сходится ряд , то сходится и ряд .

Ряд в этом случае называется абсолютно сходящимся.

Т.к. знакочередующийся ряд – частный случай знакопеременного ряда, то и к знакочередующемуся ряду можно применять признак абсолютной сходимости.

Пример 26. Исследовать сходимость ряда .

ÑДан знакопеременный ряд. Применим к нему признак абсолютной сходимости. Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда: . Этот знакоположительный ряд сравним в непредельной форме с рядом , который представляет собой геометрическую прогрессию с , следовательно, сходится. Имеем очевидное неравенство: , тогда ряд также сходится, а значит по признаку абсолютной сходимости исходный ряд сходится абсолютно.#

Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называется условно сходящимся.

Пример 27. Исследовать на абсолютную или условную сходимость так называемый ряд Лейбница

Ñ По признаку Лейбница (теорема 7) этот ряд сходится, т.к. для него выполняются оба условия этого признака: a) и б) . Но ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда, является гармоническим, который расходится. Следовательно, ряд Лейбница сходится условно. #

Признаки Даламбера и Коши для знакопеременных рядов.

Пусть - знакопеременный ряд.

Признак Даламбера. Если существует предел , то при l <1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при l >1 ряд будет расходящимся. При l =1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

Признак Коши. Если существует предел , то при l <1 ряд будет абсолютно сходящимся, а при l >1 ряд будет расходящимся. При l =1 признак не дает ответа о сходимости ряда.

Теорема 9. В сходящемся (абсолютно или условно) ряде можно группировать члены, не меняя их порядка. Иными словами, если сходится ряд , то сходится и ряд + , причем оба ряда имеют одну и ту же сумму.

Теорема 10. Абсолютно сходящийся ряд остается сходящимся и сохраняет сумму при любой перестановке его членов.

Теорема11. В условно сходящемся ряде при соответствующей перестановке его членов можно сделать его сумму равной любому наперед заданному числу или сделать ряд расходящимся.

Краткие рекомендации по применению тех или иных признаков сходимости к соответствующим рядам приведены в нижеследующей таблице.

Знакоположительные ряды.	Знакочередующиеся ряды.	Знакопеременные ряды.
1. Необходимый. 2. Сравнения в непредельной форме. 3. Сравнения в предельной форме. 4. Даламбера. 5. Коши радикальный. 6. Коши интегральный.	1. Необходимый. 2. Лейбница. 3. Абсолютной сходимости.	1. Необходимый. 2. Абсолютной сходимости.

Замечание. Следует иметь в виду, что существуют и другие признаки сходимости рядов.

Дата добавления: 2015-07-17