Основные свойства неотрицательных матриц

1) Неотрицательная квадратная матрица называется неразложимой, если одновременной перестановкой строк и столбцов ее нельзя привести к виду

,

где

подматрицы, .

В противном случае матрица – разложима

2)

- неотрицательная квадратная матрица. Среди ее собственных чисел (характеристических корней) существует собственное число и соответствующий ему собственный вектор такие, что

- корень - действительный и неотрицательный, не меньший модуля любого другого собственного числа,

;

- собственный вектор ;

- если неотрицательная матрица А неразложима, то она имеет положительное собственное число , такое, что модули всех остальных собственных чисел этой матрицы не превосходят его

.

Характеристическому корню отвечает единственный (с точностью до скалярной величины) собственный вектор .

Число и вектор называются главными собственным числом и собственным вектором матрицы А или корнем и вектором Фробениуса.

Планирование в модели «Затраты – выпуск»

(11)

Постановка задачи. Основная задача, возникающая в краткосрочном планировании производства: при заданном конечном продукте требуется определить необходимый выпуск валового продукта

, (12)

т.е. ответить на вопрос, любой ли конечный спрос может быть удовлетворен при существующей технологии производства.

Затем валовой продукт распределить.

Когда решение системы существует для , говорят, что модель Леонтьева (и матрица А) продуктивна.

Условия продуктивности модели Леонтьева.

Конкретно продуктивность модели Леонтьева определяется величиной главного собственного числа матрицы А.

Теорема. Модель Леонтьева (11) продуктивна тогда и только тогда, когда .

Если , то существует продуктивное решение модели Леонтьева, которое удовлетворяет условию

(13)

При может быть осуществлено расширенное воспроизводство валового продукта.

При - простое воспроизводство.

При - экономика терпит убытки,

являясь нерентабельной

1. Оценка матрицы технологических коэффициентов

2.

3.

Дата добавления: 2015-07-15