Свойства плотности вероятностей

f1). Плотность вероятностей является функцией неотрицательной:

для любого .

▲ Поскольку функция распределения является функцией неубывающей, то ее производная . Поэтому свойство следует из равенства (2.5) ■.

f2). Площадь под графиком плотности вероятностей равна единице:

- условие нормировки.

▲ Из представления (2.3) следует, что , а в соответствии со свойством F2) функции распределения ■.

f3). Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал определяется как интеграл от плотности вероятностей по этому интервалу: для любых

. (2.6)

▲ Поскольку в соответствии со свойством F6) функции распределения , то данное свойство непосредственно вытекает из представления (2.3):

■.

Следствие. Для непрерывной случайной величины

и все вероятности определяются с помощью интеграла (2.6).

Графическая иллюстрация функции распределения и плотности вероятностей непрерывной случайной величины.

2.5. Важнейшие непрерывные случайные величины

1. Равномерная случайная величина.

Говорят, что непрерывная случайная величина имеет равномерный закон распределения (равномерное распределение) на отрезке , если множество ее возможных значений , а плотность вероятностей постоянна на этом отрезке:

Константа С при этом однозначно определяется из условия нормировки:

, то есть .

Таким образом, равномерно распределенная случайная величина имеет плотность вероятностей:

и для нее используется сокращенное обозначение: .

Найдем функцию распределения случайной величины .

Для этого рассмотрим три случая:

а) если , то ;

б) если ,то ;

в) если , то .

Окончательно имеем:

Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины имеют вид:

2. Показательная (экспоненциальная) случайная величина.

Говорят, что непрерывная случайная величина имеет показательный закон распределения (показательное, экспоненциальное распределение), если множество ее возможных значений , а плотность вероятностей имеет вид:

Число называется параметром показательного закона распределения, а для показательной случайной величины используется сокращенное обозначение: .

Проверим условие нормировки:

при любом .

Найдем функцию распределения случайной величины .

Для этого рассмотрим два случая:

а) если , то ;

в) если , то .

Окончательно имеем:

Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины имеют вид:

3. Нормальная (гауссовская) случайная величина.

Говорят, что непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения (нормальное, гауссовское распределение) с параметрами , если множество ее возможных значений , а плотность вероятностей имеет вид:

.

Сокращенное обозначение нормальной случайной величины:

.

Кривая плотности вероятностей имеет симметричный вид относительно прямой и имеет максимум в точке .

Проверим условие нормировки:

для любых значений параметров а и (при этом использовался известный в анализе факт, что - интеграл Пуассона).

В зависимости от изменения параметров плотность вероятностей нормального закона распределения меняется следующим образом.

Если параметр фиксирован, то при изменении а кривая , не изменяя своей формы, просто смещается вдоль оси абсцисс. Таким образом, параметр а является параметром сдвига (положения). Также параметр а характеризует среднее значение случайной величины.

Изменение при фиксированном а равносильно изменению масштаба кривой по обеим осям: при увеличении плотность вероятностей становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; при уменьшении - вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков (эффект действия условия нормировки). Таким образом, параметр является параметром масштаба.

Также параметр характеризует степень разброса значений случайной величины около среднего значения а в следующем смысле. Чем меньше , тем больше при фиксированном вероятность вида , как площадь под плотностью вероятностей или, другими словами, тем при меньшем можно получить заданную вероятность вида . Это означает, что при уменьшении значения случайной величины более плотно группируются около а, то есть степень разброса значений случайной величины около среднего значения а меньше.

Если и , то нормальный закон распределения называется стандартным, его плотность вероятностей имеет вид:

и называется функцией Гаусса.

Функция распределения случайной величины имеет вид:

и не выражается в элементарных функциях. Функцию называют функцией Лапласа (или интегралом вероятностей).

Геометрическая иллюстрация.

Свойства функции Лапласа :

1. ;

2. для .

Значения функции Лапласа для табулированы.

Функция распределения случайной величины также выражается через функцию Лапласа :

.

Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал определяется по формуле:

.

Наиболее просто выражается через функцию Лапласа вероятность попадания случайной величины в интервал длины , симметричный относительно точки :

.

Далее, если положить и учесть, что , то получаем:

.

Полученный результат носит название «Правило трех сигма». Он означает, что «практически все» значения случайной величины находятся внутри интервала в том смысле, что вероятность случайной величине принять значение, не принадлежащее этому интервалу, пренебрежимо мала ().

Геометрическая иллюстрация «Правила трех сигма».

Нормальный закон распределения очень распространен и имеет чрезвычайно большое значение для практики. В этом мы убедимся, когда познакомимся с центральной предельной теоремой.

5. Случайная величина, имеющая закон распределения Коши.

Говорят, что непрерывная случайная величина имеет закон распределения Коши, если множество ее возможных значений , а плотность вероятностей имеет вид:

.

Функция распределения случайной величины, распределенной по закону Коши, имеет вид:

.

Графики плотности вероятностей и функции распределения случайной величины, распределенной по закону Коши, выглядят следующим образом:

2.6. Числовые характеристики случайных величин

Функция распределения, закон распределения и плотность вероятностей полностью характеризуют дискретные и непрерывные случайные величины с вероятностной точки зрения. Однако во многих практических задачах нет надобности в таком полном описании случайных величин. Часто бывает достаточно указать только отдельные числовые параметры, характеризующие существенные черты распределения вероятностей случайной величины. Числа, выражающие в сжатой форме характерные свойства распределения случайной величины, называются числовыми характеристиками случайной величины. Наиболее важные среди них математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание случайной величины

Рассмотрим отдельно случай дискретных и непрерывных случайных величин.

Пусть - дискретная случайная величина, определенная на вероятностном пространстве , с конечным множеством возможных значений и - вероятности, с которыми эти значения принимаются, то есть задан закон распределения дискретной случайной величины:

Предположим, что над случайной величиной произведено независимых наблюдений, в результате которых значение появилось раз, - раз,…, - раз (). Тогда среднее значение случайной величины (среднее арифметическое) по результатам наблюдений можно записать в виде:

,

где - статистическая вероятность (относительная частота) события . Известно, что при большом близка к истинной вероятности . Поэтому, если наблюдения над случайной величиной не производятся, то за ее среднее значение целесообразно принять величину .

Определение. Математическим ожиданием дискретной случайной величины , принимающей значения с вероятностями , называется величина

, (2.7)

если ряд в правой части абсолютно сходится: .

Если ряд в правой части абсолютно расходится, то говорят, что математического ожидания у дискретной случайной величины не существует.

Замечание. Естественно, что вопрос о сходимости ряда встает только в случае, когда множество возможных значений дискретной случайной величины бесконечно (но счетно). У дискретной случайной величины, принимающей конечное число значений, математическое ожидание существует всегда.

Пусть теперь - непрерывная случайная величина, определенная на вероятностном пространстве и имеющая плотность вероятностей . Для определения ее математического ожидания построим следующую дискретную случайную величину , аппроксимирующую непрерывную случайную величину .

Для некоторого рассмотрим точки вида на числовой прямой и положим

, если , .

Случайная величина принимает значения с вероятностями

,

(при малом ).

При любом и при дискретная случайная величина все точнее аппроксимирует непрерывную случайную величину .

При этом

,

если ряд сходится абсолютно. Последняя сумма является интегральной суммой для интеграла , который и следует считать математическим ожиданием непрерывной случайной величины .

Определение. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей называется величина

, (2.8)

если интеграл в правой части абсолютно сходится: .

Если интеграл в правой части абсолютно расходится, то говорят, что математического ожидания у непрерывной случайной величины не существует.

Замечание. Формулы (2.7) и (2.8) для математического ожидания дискретной и непрерывной случайных величин можно объединить в одну, записав математическое ожидание в виде:

,

где последний интеграл понимается в смысле Римана-Стилтьеса по функции распределения (подробнее см. учебник Гнеденко Б.В. «Курс теории вероятностей»).

Еще более общим является представление математического ожидания в виде интеграла Лебега:

(подробнее см. учебник Ширяева А.Н. «Вероятность»).

Механическая интерпретация математического ожидания.

Если закон распределения интерпретировать как распределение единичной массы вдоль оси абсцисс, то математическое ожидание – координата центра тяжести (центра масс).

Геометрическая интерпретация математического ожидания.

Математическое ожидание – среднее значение случайной величины, около которого группируются другие ее значения (иногда вместо математическое ожидание случайной величины говорят среднее случайной величины ).

Геометрическая иллюстрация:

Дата добавления: 2015-07-15