Распределение скоростей в растворах бетона при перемешивании

Процесс перемешивания вязких жидкостей связан с относительным сдвигом слоёв. При перемешивании растворов бетона такой сдвиг нужен для разрушения связей, которые образуются при схватывании, а затем при затвердевании раствора бетона. Механизмы перемешивания жидкостей могут быть различными – от простой лопаты до бетономешалки. Рассмотрим упрощённую схему такого механизма, состоящего из двух цилиндров, которая представлена на рисунке. Внешний цилиндр неподвижен, имеет радиус . Внешний цилиндр – это неподвижный стакан, в который наливается вязкая жидкость, например, раствор строительного бетона. Внутренний цилиндр имеет меньший радиус и располагается внутри внешнего цилиндра. Оба цилиндра коаксиальны, то есть имеют общую ось. Внутренний цилиндр вращается с угловой скоростью , размешивая жидкость между цилиндрами. На цилиндрах угловые скорости жидкости такие же, как у цилиндров, то есть выполняется условие «прилипания» жидкости к стенкам цилиндров.

Целью работы является определение закона распределения угловых скоростей слоёв вращающейся жидкости между двумя цилиндрами. Актуальность работы заключается в повышении качества перемешивания жидких растворов бетона новыми механизмами. Практическая значимость работы состоит в возможности создания новых механизмов перемешивания строительных растворов бетона. Новизна работы заключается в выявлении новых свойств вращающихся жидкостей, необходимых для практического использования.

Как распределены угловые скорости частиц жидкости между вращающимся цилиндром и неподвижным?

Касательные напряжения в движущейся жидкости подчиняются реологическому закону , где

– линейная скорость частицы жидкой среды;

– угловая скорость вращения частицы жидкой среды;

– радиус вращения частицы жидкой среды;

- реологический коэффициент;

- вязкость жидкости.

В случае жидкости Ньютона , поэтому .

В общем случае неньютоновской жидкости , поэтому

.

В фиксированном вращающемся цилиндрическом слое момент вращения должен быть равен моменту торможения, так как угловая скорость постоянна. Это означает, что вращающий этот цилиндрический слой жидкости момент постоянен . Выражаем этот момент:

.

Обозначим постоянную величину символом . Тогда получим формулу . Получим линейное неоднородное дифференциальное уравнение .

Решаем это дифференциальное уравнение методом Лагранжа.

Получаем , где - функция, которую надо определить из уравнения .

Дальнейшее интегрирование требует рассмотреть два случая.

Особый случай интегрирования будет при :

.

В этом случае получим .

Постоянные интегрирования и определяются из граничных условий для угловой скорости на вращающемся и на неподвижном цилиндрах: Получаем

Подставляем найденные постоянные интегрирования и общий интеграл линейного неоднородного дифференциального уравнения. Получили закон распределения угловых скоростей в случае в виде следующей формулы .

Рассмотрим остальные значения реологического коэффициента . В этом случае , причём .

Получаем: .

Решение дифференциального уравнения методом Лагранжа при приводит к функции .

Постоянные интегрирования и определяются из граничных условий для угловой скорости на вращающемся и на неподвижном цилиндрах: Получаем

Подставляем найденные постоянные интегрирования и общий интеграл линейного неоднородного дифференциального уравнения. Получаем закон распределения угловых скоростей в случае в виде следующей формулы: .

Проведём анализ полученных результатов графическим методом. При расчётах будем предполагать, что внутренний цилиндр имеет радиус и вращается с угловой скоростью , а внешний цилиндр неподвижен и имеет радиус . Текущий радиус вращающихся слоёв жидкости изменяется в пределах , то есть .

Расчёты показали, что при малых значениях коэффициента угловая скорость жидкости от вращающегося внутреннего цилиндра очень быстро уменьшается. Действительно, вязкость жидкости маленькая, поэтому касательные напряжения передаются с трудом, раскрутить такую жидкость трудно. При увеличении вязкости жидкость раскручивается проще. Но сразу возникает вопрос о раскрутке жидкости при больших значениях реологического коэффициента . Расчёты показали, что при больших значениях коэффициента угловая скорость практически перестаёт от него зависеть. Это означает, что существует вполне определённая асимптотика зависимости угловой скорости вращения жидкости при больших значениях коэффициента , то есть при . Эту асимптотику надо будет исследовать отдельно. Это случай сверхвязких неньютоновских жидкостей в смысле большого показателя степени.

Для исследования асимптотики вычислен предел

.

Следовательно, при , то есть для сверхвязких жидкостей получаем следующий закон передачи угловой скорости вращения слоёв жидкости: .

Построенная асимптотика очень важна для практики. Она означает, что быстрее неё раскрутить жидкость между двумя цилиндрами не получится ни при каких условиях.

Выводы.

1. Получен закон распределения угловой скорости вращения неньютоновской жидкости от радиуса между двумя цилиндрами – неподвижным внешним и вращающимся внутренним.

2. Получена асимптотика распределения угловой скорости вращения неньютоновской жидкости при больших показателях степени реологического коэффициента, которая является верхним пределом достижимых скоростей вращения жидкости в рассматриваемом простейшем механизме.

Дата добавления: 2015-07-14