Режимы течения жидкости

Расчетное выражение для А._г (и численное значение коэффициента) зависит от режима течения жидкости. Понятие о режимах течения утвердилось в гидравлике после исследований английского ученого О.Рейнольдса в конце XIX в.

Экспериментальная установка Рейнольдса состояла (рис.) из прозрачно­го резервуара 1, заполняемого рабочей жидкостью (уровень ее в ходе опыта поддерживался постоянным с помощью подпитки 7 и сливного устройства 4), прозрачной горизонтальной трубы 2 с плавным входом, регулировочного вентиля 3 и сосуда с жидкой темной краской 6. Из сосуда 6 краска по капиллярной трубке могла подводиться в какую-либо точку входного сечения трубы 2 (поток краски регулировали краном 5). В ходе опытов варьировали диаметр труб 2, скорости жидкости (их рассчитывали по расходу) и ее свойства (плотность, вяз­кость). Индикатором характера течения служила краска.

Опыт Рейнольдса:

1 — резервуар с рабочей жидкостью, 2 — экспериментальная труба, 3 — регулирующий вентиль, 4 — слив избытка жидкости, 5 — кран, 6 — сосуд с краской, 7 — линия подачи рабочей жидкости

Опыты с гладкими трубами показали, что в трубах малого диаметра при небольших скоростях жидкости подаваемая во входное сечение струйка краски проходила по всей длине трубы не размываясь. Такое параллельно-струйчатое (слоистое) течение было названо ламинарным (по латыни lamina — полоска, пластинка). В трубах большого диаметра и при высоких скоро­стях частицы жидкости (а с нею и краски) перемещались хаотически по различным траекториям — с визуально наблюдаемыми завихрениями; в результате поток интенсивно перемешивался и на некотором расстоянии от входа в трубу равномер­но окрашивался. Такое бурное течение с нестационарным возникновением и разрушением жидкостных образований было названо турбулентным (turbulentus означает бурный, беспорядочный). Рейнольдc установил, что склонность жидкости к ламинарному течению возрастает при увеличении ее вязкости и понижении плотности р, к турбулентному течению — с ростом р и снижением µ. Позднее было найдено, что характер течения определяется значением безразмерного комплекса

wdp/µ=wd/v=Re,

w - скорость движения жидкости,

d - внутренний диаметр трубы,

v,µ- кинематическая и динамическая вязкость.

названного впоследствии числом Рейнольдса. При значениях Rе ниже некоторой критической величины (Rе _кр) течение жидкости — ламинарное; для круглых труб Rе_кр примерно равно 2300. При увеличении Rе (для изотермического течения в прямых круглых трубках — сверх 10⁴) течение становится существенно турбулентным, причем с ростом Rе интенсивность турбулентности повышается.

Rе представляет собой соотношение сил инерции и вязкости. В случае ламинарного режима (малые значения Rе) доминируют силы вязкости (они — в знаменателе Rе), влияние сил инерции вырождается. При этом использование числа Rе, вообще говоря, теряет смысл (или приобретает формальный характер). В случае турбулентного режима (высокие Rе) в целом преобладают силы инерции. Однако вблизи стенок канала (в очень тонком слое), где скорости малы, течение остается близким к ламинарному; поэтому силы вязкости продолжают оказывать некоторое влияние на характер течения — использование Rе для характеристики таких течений сохраняет смысл. Лишь при очень высоких Rе (для круглых труб — свыше 2*10⁷) пристенный слой оказывается практически сорванным — доминируют силы инерции, а влияние сил вязкости вырождается. Значит, вырождается и число Rе — его использование становится формальным. В обоих случаях доминирования сил вязкости либо инерции течения именуют автомодельными относительно критерия Рейнольдса. При значениях Rе, несколько превышающих Rе_кр (от 2300 до 10000), силы инерции и вязкости сопоставимы по величине: здесь уже нарушено слоистое течение, но неупорядоченность (хаотичность) выражена еще слабо. Эти режимы течения называются переходными (в зарубежной литературе — промежуточными).

На практике возможно некоторое смещение указанных диапазонов. Так, при очень плавном входе жидкости в круглую трубу и отсутствии каких-либо внешних возмущений удается сохранить ламинарный режим при Rе, заметно превышающих 2300. Наоборот, при неблагоприятных условиях входа (наличии вибрации, турбулизующих вставок, шероховатости стенок кана­ла) течение становится турбулентным при Rе значительно ниже 10⁴.

Особенно сильное влияние внешние условия оказывают на течение в переходном режиме — его характеристики могут смещаться в сторону ламинарного либо турбулентного. В этом смысле переходный режим плохо воспроизводится, так что рас­четные формулы для различных эффектов переноса в переходном режиме (не только в гидравлике, в тепло- и массообменных процессах — тоже) обычно весьма ненадежны и пригодны лишь для определения качественных связей между различными фак­торами и приближенной оценки численных значений характе­ристик процесса.

Физические предпосылки возникновения и поддержания ламинарного или турбулентного режима можно представить сле­дующим образом. В жидкостном потоке под влиянием постоянно действующих случайных возмущений непрерывно возникают отклонения от характерных (для данного течения) параметров движения жидкости. Но при доминировании сил вязкости упомянутые отклонения подавляются, и движение остается упорядоченным, т.е. ламинарным. Этого не происходит, когда преобладают силы инерции: возникшие возмущения здесь развиваются, распространяются по объему потока движение становится неупорядоченным, т.е. турбулентным.

Переход к неупорядоченному течению стимулируется внешними (по отношению к потоку жидкости) причинами: преградами в канале, шероховатостью его стенок, вибрацией каналов и т.п.

Распределение скоростей в турбулентном потоке

Совершенно очевидно, что характер распределения скоростей должен быть качественно различным в ламинарном слое и турбу­лентном ядре потока.

Для ламинарной (пристенной) области течения характерно υ»υ _и, так что выражение может быть записано в привычной форме. Поскольку речь идет о тонком пристенном слое, можно положить, что здесь τ_Т ≈ τ_S и тогда:

τ_S/ρ=υdv_Л /dy

где у — нормаль к поверхности (в случае круглой трубы у =R—r).

w = [(p₁-p₂)/4μl](r₀²-r²)

p₁,p₂- давление; µ - динамическая вязкость; l - длина выделенного потока жидкости; r₀, r - касательные напряжения на боковой поверхности выделенного потока и на расстоянии от стенки.

Для турбулентного ядра потока задача о распределении скоростей решается приближенно, с определенными (модельными) допущениями. Наиболее распространенным является подход Л. Прандтля; несмотря на известную не строгость некоторых допущений, получаемые результаты (скорректированные некоторыми эмпирическими константами) достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными.

В основе анализа — уравнение, причем для турбулентного ядра. v _и>> v

Вводим следующие основные допущения:

1) поскольку речь идет об областях течения, не слишком далеко отстоящих от стенки канала, то можно приближенно принять, что и в этой области τ_т= τ_и≈τ_S=const;

2) поскольку все же эти области находятся на известном уда­лении от стенки, то ее влияние на характеристики турбулентности проявляется крайне слабо, так что турбулентность вполне можно считать изотропной (w'≈v');

3) изменение скорости ∆w обусловлено переносом ансамбля (пакета) за счет пульсационной скорости v'; связь этих скоро­стей очевидна, можно считать ∆w ~ v или ∆w = k_I/v;

4) длина пути смешения L прямо пропорциональна расстоянию от стенки у:L=k₂*у; при этом коэффициент k₂ призван учесть некоторую неопределенность величины /, а также неточ­ности, связанные с другими допущениями.

Tаким образом, для турбулентного ядра на не очень большом удалении от стенки канала характерен логарифмический про­филь скоростей — соответственно выражению, получившему название закона стенки.

Работами Прандтля было установлено, что закон изменения касательных напряжений по сечению потока близок к логарифмическому закону. При некоторых допущениях: течение вдоль бесконечной плоскости и равенстве касательных напряжений во всех точках на поверхности τ_0.

w = 1/x (τ₀/ρ)^1/2ln r + C, х - смоченый периметр.

Специально подчеркнем, что граничное условие для опреде­ления постоянной С сформулировать непросто: надо распола­гать значением скорости на границе турбулентного ядра, а так­же толщины последнего. Теоретические оценки здесь крайне приближенные, и поэтому значения к и С' находят из экспери­мента; он же позволяет определить границы применимости логарифмического закона. Наиболее часто в литературе приводятся значения

к = 0,4 и C = 5,5.

Эксперимент подтверждает справедливость закона в пристенной зоне, т.е. в области малых значений у*. При увеличении у* находит подтверждение и закон стенки. Однако для некоторой промежуточной области значений у* (ее называют буферной зоной), где значения v _и и v сопоставимы по величине, при качественном сохранении логарифмического закона требуется количественная корректировка, отражающаяся на численных значениях коэффициентов к и С'.

Типичный профиль скоростей в круглой трубе показан на рис:

для ламинарного режима — по уравнению, для турбулентного режима — по уравнениям; там же штриховой линией обозначен уровень средней скорости и». Из сравнения распределений скоростей при разных режимах течения видно, что пристеночный градиент скоростей (в пределах ламинарного пограничного слоя) в случае турбулентного режима значи­тельно выше, нежели для ламинарного, а сам профиль в турбу­лентном ядре существенно выровнен (говорят: заполнен). Средняя скорость в круглой трубе при турбулентном режиме обычно колеблется в пределах от 0,7 до 0,85 от максимальной (эта цифра, отражающая степень выравнивания скоростей в ядре потока, возрастает с повышением Ке); при переходе к верхнему автомо­дельному режиму (Re> 2-10⁷) естественно w/w_тах →1.

В практических расчетах обоснованное модельными представлениями Л.Прандтля, но достаточно сложное распределение скоростей по иногда заменяют более простым степенным профилем. Наиболее часто используют "закон 1/7", неплохо соответствующий логарифмическому профилю (особенно при у* > 30):

w_Л ~ (y*)^1/7 или w= w_О (y*)¹/⁷,

где w_О — скорость за пределами пограничного ламинарного слоя, близкая кw_тах- Применительно к круглым трубам "закон 1/7" нередко записывают в форме

1/7

w=w_max(1-r/R)^1/7

Существуют и другие аппроксимации логарифмического профиля скоростей.

1.6 Уравнение неразрывности и сплошности потока
Рассмотрим поток жидкости, в котором нет пустот и трещин, без внутренних источников субстанции (? = 0). Перенос осуществляется только конвективным механизмом (q_м = 0), т.е.

.

(1.26)

Тогда основное уравнение переноса субстанции имеет следующий вид:

.

(1.27)

Расписав дивергенцию векторной функции как скалярную величину и подставив ее в уравнение (1.27), получим уравнение неразрывности и сплошности потока:

.

(1.28)

Уравнение неразрывности потока может быть записано в виде:

.

(1.29)

Частные случаи уравнения неразрывности потока:

а) процесс стационарный ():

или ;

(1.30)

б) жидкость несжимаема (? = const):

или ;

(1.31)

в) однонаправленное движение вдоль оси Х ():

;

(1.32)

г) однонаправленное движение и процесс стационарный (; ):

или .

(1.33)

Рисунок 1.3 – К уравнению неразрывности и сплошности потока

Дата добавления: 2015-07-14