Аппроксимируемая кривая

2. Определение математической модели «вручную»

Таблица чисел аппроксимируемой кривой

x	0,1	0,2	0,3	0,6	1,0
y		20,5		18,5	12,5

Проверка пригодности многочлена первой степени вида

A + B x = y.

Попарно подставляя в него табличные значения x и y, получаем уравнения для коэффициентов А и В.

А + 0,1 В = 14;

А + 0,2 В = 20,5;

А + 0,3 В = 25;

А + 0,6 В = 18,5;

А + В = 12,5;

«Нормальные» уравнения:

5 А + 2,2 В = 90,5;

2,2 А + 1,5 В = 36,6.

Коэффициенты модели:

А = 20,763; В = -6,053.

Математическая модель в виде многочлена первой степени

Y = 20,763 – 6,053 Х.

Подставляя в математическую модель табличные значения х, получаем вычисленные значения y _с и отклонения. Результаты сводим в таблицу 1

Таблица 1

х	у с	у – у с	(у – у с)^2
0,1	20,158	-6,158	37,92
0,2	19,553	0,947	0,898
0,3	18,947	6,053	36,634
0,6	17,132	1,368	1,873
1,0	14,711	-2,211	4,886

Вычисляем (y – y _с)² = 82,211

Средняя квадратическая ошибка

= 5,235,

где число табличных значений r = 5;

число параметров S = 2.

Среднее абсолютное отклонение

= 3,347

Заключение о точности полученной математической модели и необходимости проверки многочлена второй степени

Сумма квадратных отклонений, средняя квадратическая ошибка и среднее абсолютное отклонения получились сравнительно большими, следовательно модель неточна

Оценка пригодности в качестве математической модели, многочлена второй степени вида

А + В х + С х ² = y.

Подставляя в него табличные значения х и y, получаем

А + 0,1 B + 0,01 C = 14;

A + 0,2 B + 0,04 C = 20,5;

A + 0,3 B + 0,09 C = 25;

A + 0,6 B + 0,36 C = 18,5;

A + B + C = 12,5;

«Hормальные» уравнения:

5 A + 2,2 B + 1,5 C = 90,5;

2,2 A + 1,5 B + 1,252 C = 36,6;

1,5 A + 1,252 B + 1,329 C = 22,37.

Коэффициенты модели:

A = 0,054; B = 1,495; C = -0,611

Математическая модель в виде многочлена второй степени:

Y = 13,354 + 37,424 х – 39,07 х ².

Подставляем в модель табличные значения х.

Таблица 2

х	у с	у – у с	(y – y с)^2
0,1	16,706	-2,706	7,324
0,2	19,276	1,224	1,497
0,3	21,065	3,935	15,481
0,6	21,744	-3,244	10,521
1,0	11,708	0,792	0,627

Вычисляем (y – y _с)² = 35,45

Средняя квадратичная ошибка

= 4,21

где число табличных значений r = 5;

число параметров S = 3.

Среднее абсолютное отклонение

= 2,38.

Заключение об адекватности полученной математической модели и необходимости дальнейшего повышения ее степени с использованием программы расчета на ЭВМ:

Сумма квадратных отклонений, средняя квадратическая ошибка и среднее абсолютное отклонения получились меньше, следовательно, модель в виде квадратного многочлена точнее линейной

исходная характеристика

линейная модель

квадратичная модель

Заключение о приемлемости выбранной модели в инженерной практике и результатах сравнения «ручной» и «машинной» моделей вида

y = A + B x + C x ²:

Ни линейная, ни квадратичная модели не описывают точно механическую характеристику. Для построения удовлетворительной модели стоит попробовать применить более сложную функцию или разбить механическую характеристику на несколько частей и найти аппроксимирующую функцию для каждой части по отдельности

Дата добавления: 2015-07-14