Свободные электрические колебания

Цель работы. Познакомиться: 1) с физическими процессами, протекающими в колебательном контуре; 2) с компьютерной иллюстрацией динамики указанных процессов.

Введение

Свободные электромагнитные колебания получают в колебательном контуре, состоящем из последовательно соединенных конденсатора C, катушки индуктивности L, сопро-тивления катушки и соединительных проводов R. В реальном колебательном контуре колебания всегда затухающие. Затухание вызывается тепловыми потерями в проводниках, потерями энергии на излучение электромагнитных волн, тепловыми потерями в диэлектриках и ферромагнетиках вследствие электрического и магнитного гистерезиса.

Рассмотрим физические процессы, протекающие в коле-бательном контуре после подсоединения к нему заряженного конденсатора. Разряд конденсатора через катушку индуктив-ности возбуждает в ней ЭДС самоиндукции (Е_s=-LdI/dt), направ-ленной против нарастающего тока разряда (dI/dt>0). После разряда конденсатора ток начинает убывать (dI/dt<0), ЭДС самоиндукции меняет направление (Е_s>0) и поддерживает ток в прежнем направлении, что приводит к перезарядке конденса-тора (рис.1). В следующие полпериода процесс повторится в обратном направлении.

Согласно второго правила Кирхгофа в произвольный момент времени сумма напряжений в контуре равна ЭДС самоиндукции: U_c + IR = - LdI/dt. (1)

Учитывая, что I=dq/dt, а U_c=q/С уравнение (1) представим в виде Lq + Rq + q/C =0. (2)

Разделив (2) на L и введя обозначения R/L=2β, (LC)^-1=ω₀², получим линейное дифференциальное уравнение второго порядка: q + 2βq + ω₀²q = 0. (3)

- 3 -

Решением (3) является уравнение вида

, (4)

где - циклическая частота затухающих колеба-ний, α – начальная фаза, q_m- амплитуда заряда на конденсаторе в момент времени t=0, β – коэффициент затухания, ω₀ – цикли-ческая частота незатухающий колебаний.

Напряжение на конденсаторе изменяется синфазно с зарядом: , (5)

где U_m= q_m/C – амплитуда напряжения в момент времени t=0.

В теории колебаний широко используют векторные диаграммы, обеспечивающие наглядность колебательного про-цесса. Так например, текущую амплитуду напряжения на кон-денсаторе U(t)=U_mexp(-βt) представляют как вектор, вращаю-щийся в плоскости чертежа с угловой скоростью ω против часовой стрелки (рис.1).

Рис.1

- 4 -

Если на указанной плоскости (называется фазовой) отмечать положения конца вектора через равные промежутки времени, то затухающие колебания будут иметь вид спирали.

Проекция вектора текущей амплитуды напряжения на определенную ось даст временную развертку затухающих колебаний (5).

Сила тока в контуре изменяется по закону [2]:

, (6)

где: I_m=ω₀q_m- амплитуда тока в момент времени t=0; δ – угол, на который опережает ток напряжение (значение δ заключено в пределах от π/2 до π).

ЭДС самоиндукции в контуре изменяется по закону:

, (7)

где E_ms=L ω₀ ²q_m- амплитуда ЭДС самоиндукции в момент времени t=0; 2δ - угол, на который ЭДС самоиндукции опережает напряжение.

На рис.2 указаны ориентации на фазовой плоскости в произвольный момент времени векторов напряже-ния U, тока I и ЭДС самоиндукции E_s, соответствующих коэффициенту затухания β>0.

Если предположить, что сопро-тивление контура R=0, т.е. β=0, то углы δ между указанными на рис.2 векторами будут равны 90⁰, а их проекции на выбранную ось будут представлять гармонические колебания:

, (8)

, (9)

, (10)

где ω₀ – циклическая частота незатухающих колебаний.

В идеальном колебательном контуре (R=0) происходит перио-дическое преобразование энергии электрического поля конден-сатора в энергию магнитного поля катушки и наоборот:

- 5 -

, (11)

. (12)

В реальном контуре первоначально запасенная энергия со временем рассеивается. Если в начальный момент времени (t=0) энергия сосредоточена в конденсаторе и имеет величину

W₀=q_m²/(2C), то спустя время t:

. (13)

Скорость убывания энергии в контуре равна:

. (14)

При слабом затухании (β² << ω₀²) период колебаний мало отличается от периода незатухающих колебаний и определяет-ся формулой Томсона:

. (15)

Логарифмический декремент λ такого контура мал

, (16)

а его добротность Q велика –

. (17)

Если в (15) , то вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора, а вся энергия, запасен-ная в контуре, переходит в тепловую энергию. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим (ω=0). Значение критического сопротивления вытекает из равенства ω₀= β:

, (18)

где ρ – волновое сопротивление контура.

- 6 -

О программе

Программа наглядно иллюстрирует физические процес-сы, протекающие в колебательном контуре.

Разработана студентами факультета «Автоматизация и информатика» То Хай Шоном и Сидоровым Русланом.

Подготовка к эксперименту

1. Открыть папку «Son» и файл «Контур.ехе».

2. В появившемся меню выбрать «Свободные электрические колебания» и «Краткая теория….». Познакомьтесь с краткой теорией.

3. Возвратитесь в меню и выберите «Моделирование».

4. На появившейся панели (рис.2) установить с помощью регуляторов «L», «С», «R» параметры колебательного контура.

Рис.2

- 7 -

5. Задать величину заряда на обкладках конденсатора и начальную фазу колебаний, с помощью регуляторов «Заряд – Q», «Начальная фаза - φ». Записать установленные параметры контура, амплитуду заряда и начальную фазу (выразить в радианах).

6. Установить флажки в окошках «Сила тока» и «ЭДС самоиндукции».

7. Нажать клавишу «Старт». В появившемся окне панели иллюстрируются процессы зарядки конденсатора от источника тока и возникающие свободные электромагнитные колебания в контуре. Предусмотрена анимация изменений полярности заряда на обкладках конденсатора, величины и направления э.д.с. самоиндукции и показаний амперметра и вольтметра.

8. Нажатием клавиши «Диаграмма» осуществляется переход в окно, где иллюстрируются: упрощенная схема колебательно-го контура, с протекающими в ней процессами; вращающаяся векторная диаграмма; временная развертка свободных колебаний напряжения на обкладках конденсатора – U(t), величины тока в контуре – I(t) и эдс самоиндукции в катушке индуктивности – Е(t).

9. После знакомства с работой программы нажать клавишу «Стоп» и снять флажки в окошках «Сила тока» и «ЭДС самоиндукции».

Проведение эксперимента

1. Последовательно нажать клавиши «Старт» и «Диаграмма».

После N полных оборотов вектора U на фазовой плоскости (см. рис.1) остановить выполнение программы клавишей «Стоп».

2. Записать число полных оборотов N вектора U. Нажатием клавиши «Моделирование» перейти в окно, изображенное на рисунке.2, и записать показания вольтметра и амперметра.

3. По формуле (15) вычислить период T свободных колебаний и длительность виртуального эксперимента: t = TN.

- 8 -

4. Вычислить: коэффициент затухания, по формуле β=R/(2L); логарифмический декремент, по формуле (16); добротность контура, по формуле (17); критическое сопротивление контура, по формуле (18); запасенную в контуре энергию в начальный и конечный момент времени, по формуле (13); скорость убывания энергии, по формуле (14).

5. Вычислить циклические частоты затухающих ω и собствен-ных ω₀ колебаний. Если ω₀ и ω мало отличаются друг от друга, то опережение силы тока в контуре по фазе δ относительно напряжения незначительно превышает π/2. Этот угол можно примерно оценить при выполнении пункта 8 «Подготовка к эксперименту».

6. Записать законы: изменения заряда q(t) и напряжения U(t) на обкладках конденсатора колебательного контура; силы тока в контуре I(t); ЭДС самоиндукции E(t) в катушке индуктивности.

7. Выбрать масштаб и построить векторную диаграмму (см.рис.2).

8. Записать законы изменения энергии электрического поля конденсатора W_c(t), энергии магнитного поля катушки индук-тивности W_L(t) и скорости убывания полной энергии в контуре dW/dt(t).

9. По проделанной работе сделать вывод.

Контрольные вопросы

1. Какие физические процессы протекают в колебательном контуре?

2. Приведите дифференциальное уравнение свободных колебаний в реальном колебательном контуре и его решение. При каких условиях колебательный контур можно считать идеальным?

3. Перечислите основные характеристики реального колебательного контура.

4. В чем заключаются преимущества метода векторных диаграмм?

- 9 -

Рекомендуемая литература

1. СавельевИ.В. Курс физики. Т2. М.: Наука. 1989. §§66, 70.

2. СавельевИ.В. Курс физики. Т2. М.: Наука. 1978. §§89, 90.

3. Трофимова Т. И. Курс физики. М.: Высшая школа. 1997. §§ 143, 146.

4. Яворский В. М., Детлаф А. А. Справочник по физике. М.: Наука. 1985. § IV.2.1.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ДОНСКОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра физики

Лабораторная работа № 7В

Дата добавления: 2015-07-14