Читайте также:
|
|
Рассмотрим два линейных пространства: – размерности n и
– размерности m.
Если задан закон (правило), по которому каждому вектору x пространства ставится в соответствие единственный вектор y пространства
, то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение)
, действующий из
в
, и записывают
.
Оператор называется линейным, если для любых векторов x и y пространства и любого числа
выполняются соотношения:
1. – свойство аддитивности оператора;
2. – свойство однородности оператора.
Вектор называется образом вектора x, а сам вектор x – прообразом вектора y.
Связь между векторами x и y представляется в следующем виде:
Матрица
называется матрицей оператора
в базисе
, а ранг матрицы A – рангом оператора
.
Связь между вектором x и его образом можно выразить в матричной форме уравнением:
,
где A – матрица линейного оператора,
– матрицы-столбцы из координат векторов x и y.
Пример 5.1. Пусть в пространстве линейный оператор
в базисе
задан матрицей
. Найти образ
вектора
.
Решение. По формуле , имеем
, следовательно,
.
Матрицы A и одного и того же линейного оператора в разных базисах
и
связаны соотношением:
,
где С – матрица перехода от старого базиса к новому.
Пример 5.2. В базисе оператор
имеет матрицу
. Найти матрицу оператора
в базисе
Решение. Матрица перехода , а обратная к ней матрица
, следовательно, по формуле
, получаем:
.
Вектор называется собственным вектором линейного оператора
, если найдется такое число
, что
.
Число называется собственным значением оператора
(матрицы A), соответствующим вектору x. В матричной форме:
или в развернутом виде:
Преобразуем систему так, чтобы в правой части уравнений были нули:
В матричной форме: , где E – единичная матрица. Полученная система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.:
Определитель является многочленом n -й степени относительно
и называется характеристическим многочленом оператора
или матрицы
, а уравнение, обозначенное
, называется характеристическим уравнением оператора
или матрицы
.
Пример 5.3. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей
.
Решение. Составляем характеристическое уравнение:
или
. Решая квадратное уравнение, получим:
– это и есть собственные значения линейного оператора
.
Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению
. Решаем матричное уравнение:
или
. Система неопределенна:
или
Следовательно,
. Таким образом, векторы
при любом
являются собственными векторами линейного оператора
с собственным значением
.
Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению
. Матричное уравнение:
или
. Следовательно,
. Таким образом, векторы
при любом
являются собственными векторами линейного оператора
с собственным значением
.
Матрица оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:
.
Пример 5.4. Привести матрицу линейного оператора
к диагональному виду.
Решение. В примере 5.3. мы определили и
. Координаты собственных векторов не пропорциональны, то векторы
и
линейно независимы. Поэтому в базисе, состоящем из любых пар собственных векторов, матрица А будет иметь диагональный вид:
или
.
Для проверки выберем любые, не равные нулю, числа, например, ;
, тогда
;
. Матрица перехода от старого базиса к новому:
. Тогда матрица А в новом базисе примет вид:
,
т.е. получается диагональная матрица с элементами главной диагонали, равными собственным значениям матрицы А.
Квадратичной формой от n переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:
,
где – коэффициенты квадратичной формы (действительные числа).
Матрица – матрица квадратичной формы (матрица, у которой
называется симметрической).
Матричная запись квадратичной формы:
, где
– матрица-столбец переменных.
.
Пример 5.5. Дана квадратичная форма:
.
Записать ее в матричном виде.
Решение. Диагональные элементы – коэффициенты при квадратах: 4; 1; -3;. Другие элементы – половины соответствующих коэффициентов:
Следовательно, . Поэтому
.
Задания для самостоятельного решения:
Найти образ вектора
, если линейный оператор
в базисе
задан матрицей
:
5.1. ;
. 5.2.
;
.
5.3. ;
. 5.4.
;
.
5.5. ;
. 5.6.
;
.
5.7. ;
. 5.8.
;
.
Задана матрица А линейного оператора в некотором базисе . Найти матрицу этого оператора в базисе
.
5.9. ;
5.10.
;
5.11. ;
5.12.
;
5.13. ;
5.14.
;
5.15. ;
5.16.
;
5.17. ;
5.18.
;
5.19. ;
5.20.
;
5.21. ;
5.22.
;
5.23. ;
5.24.
;
5.25. ;
5.26.
;
5.27. ;
5.28.
;
5.29. ;
5.30.
;
Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей А:
5.31. 5.32.
5.33.
5.34.
5.35. 5.36.
5.37.
5.38.
5.39. 5.40.
5.41.
5.42. 5.43.
5.44.
5.45. 5.46.
5.47.
5.48. 5.49.
5.50.
5.51. 5.52.
5.53.
Найти матрицу С, которая приводит данную матрицу А к диагональному виду и матрицу :
5.54. 5.55.
5.56.
5.57.
5.58. 5.59.
5.60.
5.61. 5.62.
5.63.
Записать в матричном виде данную квадратичную форму:
5.64. .
5.65. .
5.66. .
5.67. .
5.68. .
5.69. .
5.70. .
5.71. .
5.72. .
5.73. .
5.74. .
5.75. .
5.76. .
5.77. .
5.78. .
5.79. .
5.80. .
Дата добавления: 2015-07-14; просмотров: 149 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Р?здержки обращения | | | Износ и амортизация основных фондов |