Линейные операторы. Квадратичные формы

Рассмотрим два линейных пространства: – размерности n и – размерности m.

Если задан закон (правило), по которому каждому вектору x пространства ставится в соответствие единственный вектор y пространства , то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) , действующий из в , и записывают .

Оператор называется линейным, если для любых векторов x и y пространства и любого числа выполняются соотношения:

1. – свойство аддитивности оператора;

2. – свойство однородности оператора.

Вектор называется образом вектора x, а сам вектор x – прообразом вектора y.

Связь между векторами x и y представляется в следующем виде:

Матрица называется матрицей оператора в базисе , а ранг матрицы A – рангом оператора .

Связь между вектором x и его образом можно выразить в матричной форме уравнением:

,

где A – матрица линейного оператора, – матрицы-столбцы из координат векторов x и y.

Пример 5.1. Пусть в пространстве линейный оператор в базисе задан матрицей . Найти образ вектора .

Решение. По формуле , имеем

, следовательно, .

Матрицы A и одного и того же линейного оператора в разных базисах и связаны соотношением:

,

где С – матрица перехода от старого базиса к новому.

Пример 5.2. В базисе оператор имеет матрицу . Найти матрицу оператора в базисе

Решение. Матрица перехода , а обратная к ней матрица , следовательно, по формуле , получаем:

.

Вектор называется собственным вектором линейного оператора , если найдется такое число , что .

Число называется собственным значением оператора (матрицы A), соответствующим вектору x. В матричной форме: или в развернутом виде:

Преобразуем систему так, чтобы в правой части уравнений были нули:

В матричной форме: , где E – единичная матрица. Полученная система всегда имеет нулевое решение. Для существования ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.:

Определитель является многочленом n -й степени относительно и называется характеристическим многочленом оператора или матрицы , а уравнение, обозначенное , называется характеристическим уравнением оператора или матрицы .

Пример 5.3. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей .

Решение. Составляем характеристическое уравнение:

или . Решая квадратное уравнение, получим: – это и есть собственные значения линейного оператора .

Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению . Решаем матричное уравнение: или . Система неопределенна: или Следовательно, . Таким образом, векторы при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением .

Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению . Матричное уравнение: или . Следовательно, . Таким образом, векторы при любом являются собственными векторами линейного оператора с собственным значением .

Матрица оператора в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:

.

Пример 5.4. Привести матрицу линейного оператора к диагональному виду.

Решение. В примере 5.3. мы определили и . Координаты собственных векторов не пропорциональны, то векторы и линейно независимы. Поэтому в базисе, состоящем из любых пар собственных векторов, матрица А будет иметь диагональный вид:

или .

Для проверки выберем любые, не равные нулю, числа, например, ; , тогда ; . Матрица перехода от старого базиса к новому: . Тогда матрица А в новом базисе примет вид:

,

т.е. получается диагональная матрица с элементами главной диагонали, равными собственным значениям матрицы А.

Квадратичной формой от n переменных называется сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением двух разных переменных, взятых с некоторым коэффициентом:

,

где – коэффициенты квадратичной формы (действительные числа).

Матрица – матрица квадратичной формы (матрица, у которой называется симметрической).

Матричная запись квадратичной формы:

, где – матрица-столбец переменных.

.

Пример 5.5. Дана квадратичная форма:

.

Записать ее в матричном виде.

Решение. Диагональные элементы – коэффициенты при квадратах: 4; 1; -3;. Другие элементы – половины соответствующих коэффициентов:

Следовательно, . Поэтому .

Задания для самостоятельного решения:

Найти образ вектора , если линейный оператор в базисе задан матрицей :

5.1. ; . 5.2. ; .

5.3. ; . 5.4. ; .

5.5. ; . 5.6. ; .

5.7. ; . 5.8. ; .

Задана матрица А линейного оператора в некотором базисе . Найти матрицу этого оператора в базисе .

5.9. ; 5.10. ;

5.11. ; 5.12. ;

5.13. ; 5.14. ;

5.15. ; 5.16. ;

5.17. ; 5.18. ;

5.19. ; 5.20. ;

5.21. ; 5.22. ;

5.23. ; 5.24. ;

5.25. ; 5.26. ;

5.27. ; 5.28. ;

5.29. ; 5.30. ;

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей А:

5.31. 5.32. 5.33. 5.34.

5.35. 5.36. 5.37. 5.38.

5.39. 5.40. 5.41.

5.42. 5.43. 5.44.

5.45. 5.46. 5.47.

5.48. 5.49. 5.50.

5.51. 5.52. 5.53.

Найти матрицу С, которая приводит данную матрицу А к диагональному виду и матрицу :

5.54. 5.55. 5.56. 5.57.

5.58. 5.59. 5.60.

5.61. 5.62. 5.63.

Записать в матричном виде данную квадратичную форму:

5.64. .

5.65. .

5.66. .

5.67. .

5.68. .

5.69. .

5.70. .

5.71. .

5.72. .

5.73. .

5.74. .

5.75. .

5.76. .

5.77. .

5.78. .

5.79. .

5.80. .

Дата добавления: 2015-07-14