Числовое значение физической величины без указания единицы измерения не имеет смысла!

На письме скаляры изображаются, как правило, курсивными латинскими , , , … или прямыми греческим буквами ….

1.2. Векторные величины (вектор - лат. - несущий) определяются числовым значением, точкой приложения, направлением, линией действия и особым законом сложения (правило параллелограмма). В учебниках векторы обозначаются, как правило, прямыми жирными буквами а, Е, В, Н,… либо (что удобнее в конспектах и на доске) латинскими курсивными буквами или греческими прямыми буквами со стрелками На рисунках векторы обозначаются направленными отрезками (рис. 1).

Рис.1

О – точка приложения векторов, пунктир --- - линия действия вектора

Вектор можно перемещать вдоль его линии действия. Числовое значение вектора – его модуль – обозначается . Определим некоторые математические операции.

1.2.1. Сумма и разность векторов и Сумма и разность векторов суть диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах как на основаниях ( рис. 2 ).

Рис.2

Если нужно сложить (вычесть) несколько векторов, то это можно сделать:

- последовательным сложением (вычитанием) (рис. 3);

-параллельным переносом векторов и соединением точки О с концом последнего вектора суммы(рис.4).

.

Рис. 3

Рис.4

1.2.2. Скалярное произведение векторов и

Скалярное произведение двух векторов и есть скаляр , где -угол между векторами и , отчитываемый от вектора к вектору против часовой стрелки (рис5).

Рис.5

Скалярное произведение векторов коммутативно .

1.2.3. Векторное произведение векторов и

Условились считать, что векторное произведение двух векторов и есть вектор , перпендикулярный плоскости, содержащей вектора и и направленный так, что при рассмотрении с его конца кратчайший поворот от к осуществляется против часовой стрелки (рис. 6).

Рис.6

Говорят, что векторы , , образуют правую тройку векторов.

Векторное произведение некоммутативно . Модуль векторного произведения

.

Вектор иногда называют аксиальным вектором или псевдовектором.

Очевидно:

1.2.4. Двойное векторное произведение

Можно показать, что .

(Мнемоническое правило для запоминания: «бац» минус «цаб»).

1. Декартова прямоугольная система координат

Одним из основных понятий физики является понятие системы отсчёта, с которой связывается математическая система координат. Наиболее простой и часто употребляемой является система прямоугольных декартовых координат (рис.7).

Рис.7

Точка О – начало координат, оси взаимно перпендикулярны. Ориентация системы в пространстве однозначно задаётся ориентацией трёх единичных взаимно перпендикулярных векторов , называемых ортами координатных осей. Они образуют так называемый ортонормированный базис (основание). Очевидно:

Положение материальной точки (тела, размерами и формой которого можно пренебречь в данной задаче) в пространстве задаётся с помощью трёх координат (абсцисса), (ордината), (аппликата) либо радиус-вектора , проведенного из начала координат к точке . Очевидно:

_. (1)

Выражение (1) называется разложением вектора по ортонормированному базису.

Модуль радиус-вектора находится с помощью пространственной теоремы Пифагора

.

Любой вектор можно разложить по ортонормированному базису:

_,

где - проекции вектора на соответствующие координатные оси.

Модуль вектора .

Скалярное произведение двух векторов и можно представить в виде:

.

Векторное произведение двух векторов и можно представить в виде:

1. Пределы функций, производные и дифференциалы. Дифференцирование и интегрирование

Рассмотрим функцию одного аргумента . Если аргумент изменяется от значения до значения , то функция при этом изменяется от до . Величина называется изменением аргумента, величина – изменением функции. Часто нужно определить значение функции , если аргумент стремится к некоторому значению. Такая операция называется отысканием предела функции .

Приведём некоторые важные пределы:

1) где - длина дуги или угол, выраженный в радианах;

2) основание натуральных логарифмов (иррациональное число), ;

3) Постоянная Эйлера .

Предел отношения изменения функции к изменению аргумента при

Называется производной функции по :

. (2)

Читается: «дэ игрек по дэ икс» или «игрек штрих».

Величина называется дифференциалом функции, величина называется дифференциалом аргумента. и - малые величины, и - бесконечно малые величины. Понятия бесконечно малые и бесконечно большие величины в физике являются относительными. Так, расстояние бесконечно мало по сравнению с расстоянием Масса электрона бесконечно мала по сравнению с массой тела , .

Процедура нахождения производной функции называется дифференцированием.

Для многих элементарных функций она осуществляется достаточно просто. Например:

1) ,

2) Нетрудно обобщить: ,

3)

так как при малых

4)

Можно показать, что при производная функции будет равна , производная функции будет равна

Ниже приводится таблица производных для некоторых элементарных функций.

Дата добавления: 2015-07-12