Уравнение Бернулли для элементарной струйки и потока реальной жидкости

Уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии, связывающий удельную по весу энергию жидкости в двух сечениях потока.
Для элементарной струйки:

Для потока реальной жидкости

Здесь:
z₁, z₂ - расстояния от произвольно выбранной горизонтальной плоскости до центров тяжести рассматриваемых сечений 1,2,
p₁,p₂ - давления в центрах сечений,
U₁,U₂- местные скорости жидкости в сечениях 1 и 2,
V₁,V₂- средние скорости жидкости в сечениях 1 и 2,
ρ- плотность жидкости, g-ускорение силы тяжести,
h_1-2 -энергия единицы веса жидкости, потраченная на преодоление сил трения между сечениями 1 и 2.
α - коэффициент Кориолиса (его значение зависит от степени неравномерности распределения скоростей в живом сечении потока, меняясь в пределах от 1 до 2).

Если ввести обозначения:

то H - полный напор, и уравнение Бернулли запишется

Дифференциальное уравнение неравномерного движения потока

Уравнение неравномерного движения дает возможность рассчитать и построить кривую свободной поверхности потока.

Для вывода уравнения рассмотрим продольный разрез потока, находящегося в состоянии неравномерного движения (рисунок 3.2). Составим уравнение Бернулли для двух сечений 1–1 и 2–2, удаленных на бесконечно малом друг от друга расстоянии, предполагаем, что расход Q = const (вдоль потока):

(3.2)

Уравнение (3.2) представим в следующем виде:

(3.3)

В этом уравнении

– представляет собой уклон дна;

– изменение глубины на отрезке d l, то есть уклон свободной поверхности (пьезометрический уклон I_р);

– потери напора (энергии) на участке d l, то есть гидравлический уклон I.

– изменение кинетической энергии на участке d l, которое можно представить следующим образом:

Площадь живого сечения ω зависит от двух координат ω=f(h, l), то есть

(3.4)

где ширина потока поверху (рисунок 3.3).

Рисунок 3.2 Схема к выводу уравнения неравномерного движения

Рисунок 3.3

С учетом выражения (3.4) изменение кинетической энергии запишется

(3.5)

В уравнении (3.3) – потери напора (энергии) на участке dl, то есть гидравлический уклон I. Величину гидравлического уклона можно получить из формулы Шези

Подставим полученные выше выражения в уравнение (3.2)

Решая это уравнение относительно , получим

(3.6)

Уравнение (3.6) называется дифференциальным уравнением неравномерного движения в общем виде. Это уравнение относится к общему случаю непризматического русла. При помощи этого уравнения можно получить приращение глубины потока на элементарной длине его dl

Потери энергии (уменьшение гидравлического напора) можно наблюдать в движущейся жидкости не только на сравнительно длинных участках, но и на коротких. В одних случаях потери напора распределяются (иногда равномерно) по длине трубопровода - это линейные потери; в других - они сосредоточены на очень коротких участках, длиной которых можно пренебречь, - на так называемых местных гидравлических сопротивлениях: вентили, всевозможные закругления, сужения, расширения и т.д., короче всюду, где поток претерпевает деформацию. Источником потерь во всех случаях является вязкость жидкости.

Следует заметить, что потери напора и по длине и в местных гидравлических сопротивлениях существенным образом зависят от так называемого режима движения жидкости.

Дата добавления: 2015-07-12