Размышления о тригонометрических функциях.

Рассмотрим всем знакомые тригонометрические функции и где может быть как безразмерным числом, называемым радианами, так и размерной величиной называемой градусами, связь между ними выражается коэффициентом .

№1 Основные свойства.

Прежде всего, отметим ряд замечательных свойствтригонометрических функций:

1) (1)

Доказательство:

Очевидно, по определению синуса и косинуса координаты точки (; , тогда из известной теоремы Пифагора сразу следует 1) (напомним, что окружность единичная, а пространство Евклидово).

2) (2)

3) (3)

Доказательство:

Отложим на единичной окружности точку A(; ) затем совершив поворот системы координат на угол найдём из геометрических соображений связь между старыми и новыми () координатами.

Из рисунка, очевидно, , что после приведения к общему знаменателю даёт следующее выражение: ч.т.д.

4) (4)

5) (5)

Доказательство:

Сложим и два варианта 2) получим

далее замена приводит к искомому равенству.

6) Также стоит отметить всем известные формулы приведения.

№2 О значениях и .

1) Говоря о нахождении значений функций, мы подразумеваем не конкретное их вычисление (что само по себе чрезвычайно интересно и рассматривается в теории рядов), а сведение значений к радикалам, то есть к конечному числу операций сложения вычитания умножения и извлечения корней.

2) Рассмотрим простые примеры:

Очевидно из определения

а) ;

б)

3) Этим, как будто, и исчерпываются наши знания об этой функции. Но давайте вновь обратимся к формуле (2) и положим сразу получим возводя это равенство в квадрат и вспоминая (1) получим:

(7)

Далее - нами получен всем хорошо знакомый результат для .

Однако можно поступить по другому. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник (, , ). Очевидно , с другой стороны по теореме Пифагора ч.т.д.

4) Снова прибегнем к планиметрии, рассмотрим равносторонний треугольник со стороной равной 1. Очевидно, с другой стороны по теореме Пифагора

.

Для угла сразу получим: .

5) Вновь обратимся к формуле (7) полагая получим следующее уравнение:

отметим также, что этому уравнению удовлетворяет и корень ,

который очевидно соответствует , с помощью (1) получим

6) В продолжение обратимся к следующему правильному многоугольнику - пятиугольнику по известной формуле Далее, так как биссектриса угла то Очевидно, что обратимся к формуле (3) и (1), положим откуда сразу получим (8)

7) С помощью (1) далее обращаясь к (8) получим

Теперь применив формулу приведения сразу получим и , далее вспомнив (2) и (3) учитывая, что будем иметь

Наконец вспоминая, что получим:

8) Вспомним формулу тройного угла (выводится элементарно) и положим найдём дискриминант вводя обозначения

Теперь вновь возьмём формулу (7) и слегка модифицируем

Теперь положим получим

Дата добавления: 2015-07-11