Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Размышления о тригонометрических функциях.

Читайте также:
  1. Глава 11 КОНЦЕНТРАЦИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
  2. Глава 11 Концентрация и размышления
  3. ГЛАВА 11. КОНЦЕНТРАЦИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
  4. Глава 11. КОНЦЕНТРАЦИЯ И РАЗМЫШЛЕНИЯ
  5. Для размышления.
  6. Интегрирование тригонометрических функций
  7. Концентрация и размышления

Рассмотрим всем знакомые тригонометрические функции и где может быть как безразмерным числом, называемым радианами, так и размерной величиной называемой градусами, связь между ними выражается коэффициентом .

№1 Основные свойства.

Прежде всего, отметим ряд замечательных свойствтригонометрических функций:

1) (1)

Доказательство:

Очевидно, по определению синуса и косинуса координаты точки ( ; , тогда из известной теоремы Пифагора сразу следует 1) (напомним, что окружность единичная, а пространство Евклидово).

2) (2)

 

3) (3)

Доказательство:

Отложим на единичной окружности точку A( ; ) затем совершив поворот системы координат на угол найдём из геометрических соображений связь между старыми и новыми ( ) координатами.

Из рисунка, очевидно, , что после приведения к общему знаменателю даёт следующее выражение: ч.т.д.

4) (4)

5) (5)

Доказательство:

Сложим и два варианта 2) получим

далее замена приводит к искомому равенству.

6) Также стоит отметить всем известные формулы приведения.

№2 О значениях и .

1) Говоря о нахождении значений функций, мы подразумеваем не конкретное их вычисление (что само по себе чрезвычайно интересно и рассматривается в теории рядов), а сведение значений к радикалам, то есть к конечному числу операций сложения вычитания умножения и извлечения корней.

2) Рассмотрим простые примеры:

Очевидно из определения

а) ;

б)

3) Этим, как будто, и исчерпываются наши знания об этой функции. Но давайте вновь обратимся к формуле (2) и положим сразу получим возводя это равенство в квадрат и вспоминая (1) получим:

(7)

Далее - нами получен всем хорошо знакомый результат для .

Однако можно поступить по другому. Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник ( , , ). Очевидно , с другой стороны по теореме Пифагора ч.т.д.



4) Снова прибегнем к планиметрии, рассмотрим равносторонний треугольник со стороной равной 1. Очевидно, с другой стороны по теореме Пифагора

.

Для угла сразу получим: .

5) Вновь обратимся к формуле (7) полагая получим следующее уравнение:

отметим также, что этому уравнению удовлетворяет и корень ,

который очевидно соответствует , с помощью (1) получим

6) В продолжение обратимся к следующему правильному многоугольнику - пятиугольнику по известной формуле Далее, так как биссектриса угла то Очевидно, что обратимся к формуле (3) и (1) , положим откуда сразу получим (8)

7) С помощью (1) далее обращаясь к (8) получим

Теперь применив формулу приведения сразу получим и , далее вспомнив (2) и (3) учитывая, что будем иметь

Наконец вспоминая, что получим:

8) Вспомним формулу тройного угла (выводится элементарно) и положим найдём дискриминант вводя обозначения

Теперь вновь возьмём формулу (7) и слегка модифицируем

Теперь положим получим

 


Дата добавления: 2015-07-11; просмотров: 53 | Нарушение авторских прав


 

 

<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Мы требуем замены служащего материалистическому мировому порядку римского права германским общим правом».| Илья Евтеев

mybiblioteka.su - 2015-2022 год. (0.013 сек.)